viernes, 21 de abril de 2017

Algebra booleana y compuertas lógicas.

Algebra booleana y compuertas lógicas.



DEFINICIONES BÁSICAS

El álgebra booleana, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y u número de axiomas no probados o postulados.

Un conjunto de elementos es cualquier colección de objetos que tienen una propiedad común. Si S es un conjunto y, x y y son ciertos objetos, entonces x   S denota que x es un miembro del conjunto  S.

Un operador binario definido en un conjunto S de elementos es una regla que asigna a cada par de elementos de S un elemento único de S. Como ejemplo, considérese la relación a*b = c. Se dice que * es un operador binario y especifica una regla para encontrar c mediante el par (a,b) y también si a,b,c estan en  S.  Sin embargo, * no es un operador binr¿ario si a,b están en S, si la regla encuentra que c no está en S.


 Los postulados de un sistema matemático forman los supuestos básicos mediante los cuales es posible deducir las reglas, teoremas y propiedades del sistema. Los postulados más comunes  que se utilizan para formular diversas estructuras algebraicas son:

  1. Cierre. Un conjunto S está cerrado con respecto a un operador binario si, para cada par de elementos de S, el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.

  1. Ley asociativa. Un operador binario * en un conjunto S se dice que es asociativo siempre que  (x*y)*z = x*(y*z) para todos x,y,z que están en S.

  1. Ley conmutativa. Un operador binario * en un conjunto S se dice que es conmutativo siempre que:

X*y = y*x ,  par todos x,y que están en S

  1. Elemento identidad. Un conjunto S se dice que tiene un elemento identidad respecto a una operación binario * en S si existe un elemento e que está en Scon la propiedad :
E* x = x*e = x     para cada x que está en S

Ejemplo   x+ 0 = 0+x = x, en este caso el 0 es el elemento identidad para el operador suma +.



  1. Inversa. Un conjunto S que tiene el elemento identidad e con respecto al operador binario * se dice que tiene una inversa que, para cada x que está en S, existe un elemento y que está en S tal que

X*y = e

 Ejemplo: En el conjunto de enteros I con e=0, la inversa de un elemento a es –a ya que +a(-a)=0


  1. Ley distributiva. Si * y ** son dos operadores binarios en un conjunto S, * se dice que es distributivo sobre ** siempre que:

x*(y**z)  = (x*y)**(x*z)

Un ejemplo de una estructura algebraica es un campo. Un campoes un conjunto de elementos, junto con dos operadores binarios.
El campo de los números reales es la base de la aritmética y del álgebra ordinaria. Los operadores y los postulados tiene los siguientes significados:

El operador binario + define la adición.

La identidad aditiva es 0.

La inversa aditiva define la sustracción.

El operador binario * define la multiplicación.

La identidad multiplicativa es 1

La inversa multiplicativa de a es 1/a define la división, esto es, a* (1/a) = 1

La única ley distributiva aplicable es la de * sobre +:


   a* (b+c) = (a*b)+ (a*c)

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

En 1954 George Boole introdujo un tratamiento sistemático de la lógica y desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana.

En 1938  C. E. Shannon (2)  introdujo un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores, en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables con interruptores pueden representarse con esta álgebra. El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios + y * siempre que satisfagan  los siguientes postulados
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

  1. (a) Cierre con respecto al operador +.
(b) Cierre con respecto al operador *.

  1. (a) Un elemento identidad con respecto a +, designado por 0: x+0 = 0+x = x

(b) un elemento identidad con respecto a , designado por 1:   1*x = x*1 = x

  1. (a) Conmutativo con respecto a +: x+y = y+x
(b) Conmutativo con respecto a  : x*y = y*x

  1. (a)  * es distributivo sobre +: x*(y+z) = (x*y) + (x*z)
(b) + es distributivo sobre +: x+ (y*z) = (x+y)* (x+z)

  1. Para cada elemento x que está en B, existe un elemnto x’ que est´en B (denominado complemento de x) tal que: (a) x+x’ = 1  y (b) x* x’ = 0

  1. Existen cuando menos dos elementos x,y que están en B tales que x es distinto de y.

El álgebra booleana se parece en algunos aspectos l álgebra ordinaria  



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