A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, de grados1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como

(x-a)^{n}

llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto

a

suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero,

a=0

, se le denomina también serie de MacLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición[editar]

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\,$ ,

donde:

n! es el factorial de n
f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)⁰ como

0!

son ambos definidos como 1 (

0!

= 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma

\sum _{}^{}a_{n}(x-a)^{n}

siempre se puede hacer el cambio de variable

z=x-a

(con lo que

x=z+a

en la función a desarrollar original) para expresarla como

\sum _{}^{}a_{n}z^{n}

centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función

f(x)=x\ln x

alrededor de a = 1 se puede tomar

z=x-1

, de manera que se desarrollaría

f(z+1)=(z+1)\ln(z+1)

centrada en 0.

Función exponencial y logaritmo natural[editar]

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x;n\in \mathbb {N} _{0}

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1

\ln(x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n+1}

Serie geométrica[editar]

{\frac {a}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }ax^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Funciones trigonométricas[editar]

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x

\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

Donde B_s son los Números de Bernoulli.

\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\csc {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad {\mbox{, para }}0<\left|{x}\right|<\pi

\arcsin x=\sum ^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1

\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1

Funciones hiperbólicas[editar]

\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x

\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x

\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1

\tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1

Función W de Lambert[editar]

W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<{\frac {1}{e}}

Los números B_k que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los E_kdel desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

Varias variables[editar]

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de

d

variables:

\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}=

\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}\sum _{n_{1}+\cdots +n_{d}=n}{n \choose n_{1}\cdots n_{d}}{\partial ^{n}f(a_{1},\cdots ,a_{d}) \over \partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}},

donde

{n \choose n_{1}\cdots n_{d}}

es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:

f(x,y)\,

\approx f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)\,

+{\frac {1}{2}}\left(f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\right).

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla f(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots

donde

\nabla f(\mathbf {a} )

es el gradiente y

\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )

es la matriz hessiana. Otra forma:

T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}

biblio

https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/805-4939/6j4m0vnap/index.html

`PRINT`

The PRINT statement writes from a list to stdout.

PRINT f [, iolist]

PRINT grname

Parameter	Description
`f`	Format identifier
`iolist`	List of variables, substrings, arrays, and records
`grname`	Name of the namelist group

Description

The PRINT statement accepts the following arguments.

Format Identifier

f is a format identifier and can be:

An asterisk (*), which indicates list-directed I/O. See "List-Directed I/O " on for more information.

The label of a FORMAT statement that appears in the same program unit.

An integer variable name that has been assigned the label of a FORMAT statement that appears in the same program unit.

A character expression or integer array that specifies the format string. The integer array is nonstandard. @

Output List

iolist can be empty or can contain output items or implied DO lists. The output items must be one of the following:

Variables
Substrings
Arrays
Array elements
Record fields
Any other expression

A simple unsubscripted array name specifies all of the elements of the array in memory storage order, with the leftmost subscript increasing more rapidly.

Implied DO lists are described on "Implied DO Lists".

Namelist-Directed `PRINT`

The second form of the PRINT statement is used to print the items of the specified namelist group. Here, grname is the name of a group previously defined by a NAMELIST statement.

Execution proceeds as follows:

The format, if specified, is established.

If the output list is not empty, data is transferred from the list to standard output.
If a format is specified, data is edited accordingly.

In the second form of the PRINT statement, data is transferred from the items of the specified namelist group to standard output.

Restrictions

Output from an exception handler is unpredictable. If you make your own exception handler, do not do any FORTRAN output from it. If you must do some, then call abort right after the output. Doing so reduces the relative risk of a program freeze. FORTRAN I/O from an exception handler amounts to recursive I/O. See the next point.

Recursive I/O does not work reliably. If you list a function in an I/O list, and if that function does I/O, then during runtime, the execution may freeze, or some other unpredictable problem may occur. This risk exists independent of parallelization.

Example: Recursive I/O fails intermittently:

       PRINT *, x, f(x)                 Not allowed because f() does I/O.
       END
       FUNCTION F(X)
       PRINT *, X
       RETURN
       END

Examples

Example 1: Formatted scalars:

       CHARACTER TEXT*16 
       PRINT 1, NODE, TEXT 
1     FORMAT (I2, A16)

Example 2: List-directed array:

       PRINT *, I, J, (VECTOR(I), I = 1, 5)

Example 3: Formatted array:

       INTEGER VECTOR(10) 
       PRINT '(12 I2)', I, J, VECTOR

Example 4: Namelist:

       CHARACTER LABEL*16 
       REAL QUANTITY 
       INTEGER NODE 
       NAMELIST /SUMMARY/ LABEL, QUANTITY, NODE 
       PRINT SUMMARY

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sábado, 31 de agosto de 2019

Curso breve de fisica computacional, FORTRAN COURSE ON COMPUTATIONAL PHYSICS ,

Serie de Taylor

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Función exponencial y logaritmo natural[editar]

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