Cover of Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics.

In mathematical logic and computer science, homotopy type theory (HoTT /hɒt/) refers to various lines of development of intuitionistic type theory, based on the interpretation of types as objects to which the intuition of (abstract) homotopy theory applies.

This includes, among other lines of work, the construction of homotopical and higher-categorical models for such type theories; the use of type theory as a logic (or internal language) for abstract homotopy theory and higher category theory; the development of mathematics within a type-theoretic foundation (including both previously existing mathematics and new mathematics that homotopical types make possible); and the formalization of each of these in computer proof assistants.

There is a large overlap between the work referred to as homotopy type theory, and as the univalent foundations project. Although neither is precisely delineated, and the terms are sometimes used interchangeably, the choice of usage also sometimes corresponds to differences in viewpoint and emphasis.^[1] As such, this article may not represent the views of all researchers in the fields equally. This kind of variability is unavoidable when a field is in rapid flux.

History[edit]

Prehistory: the groupoid model[edit]

At one time the idea that types in intensional type theory with their identity types could be regarded as groupoids was mathematical folklore. It was first made precise semantically in the 1998 paper of Martin Hofmann and Thomas Streicher called "The groupoid interpretation of type theory", in which they showed that intensional type theory had a model in the category of groupoids.^[2] This was the first truly "homotopical" model of type theory, albeit only "1-dimensional" (the traditional models in the category of sets being homotopically 0-dimensional).

Their paper also foreshadowed several later developments in homotopy type theory. For instance, they noted that the groupoid model satisfies a rule they called "universe extensionality", which is none other than the restriction to 1-types of the univalence axiom that Vladimir Voevodsky proposed ten years later. (The axiom for 1-types is notably simpler to formulate, however, since a coherence notion of "equivalence" is not required.) They also defined "categories with isomorphism as equality" and conjectured that in a model using higher-dimensional groupoids, for such categories one would have "equivalence is equality"; this was later proven by Benedikt Ahrens, Krzysztof Kapulkin, and Michael Shulman.^[3]

Early history: model categories and higher groupoids[edit]

The first higher-dimensional models of intensional type theory were constructed by Steve Awodey and his student Michael Warren in 2005 using Quillen model categories. These results were first presented in public at the conference FMCS 2006^[4] at which Warren gave a talk titled "Homotopy models of intensional type theory", which also served as his thesis prospectus (the dissertation committee present were Awodey, Nicola Gambino and Alex Simpson). A summary is contained in Warren's thesis prospectus abstract.^[5]

At a subsequent workshop about identity types at Uppsala University in 2006^[6] there were two talks about the relation between intensional type theory and factorization systems: one by Richard Garner, "Factorisation systems for type theory",^[7] and one by Michael Warren, "Model categories and intensional identity types". Related ideas were discussed in the talks by Steve Awodey, "Type theory of higher-dimensional categories", and Thomas Streicher, "Identity types vs. weak omega-groupoids: some ideas, some problems". At the same conference Benno van den Berg gave a talk titled "Types as weak omega-categories" where he outlined the ideas that later became the subject of a joint paper with Richard Garner.

All early constructions of higher dimensional models had to deal with the problem of coherence typical of models of dependent type theory, and various solutions were developed. One such was given in 2009 by Voevodsky, another in 2010 by van den Berg and Garner.^[8] A general solution, building on Voevodsky's construction, was eventually given by Lumsdaine and Warren in 2014.^[9]

At the PSSL86 in 2007^[10] Awodey gave a talk titled "Homotopy type theory" (this was the first public usage of that term, which was coined by Awodey^[11]). Awodey and Warren summarized their results in the paper "Homotopy theoretic models of identity types", which was posted on the ArXiv preprint server in 2007^[12] and published in 2009; a more detailed version appeared in Warren's thesis "Homotopy theoretic aspects of constructive type theory" in 2008.

At about the same time, Vladimir Voevodsky was independently investigating type theory in the context of the search of a language for practical formalization of mathematics. In September 2006 he posted to the Types mailing list "A very short note on homotopy lambda calculus",^[13] which sketched the outlines of a type theory with dependent products, sums and universes and of a model of this type theory in Kan simplicial sets. It began by saying "The homotopy λ-calculus is a hypothetical (at the moment) type system" and ended with "At the moment much of what I said above is at the level of conjectures. Even the definition of the model of TS in the homotopy category is non-trivial" referring to the complex coherence issues that were not resolved until 2009. This note included a syntactic definition of "equality types" that were claimed to be interpreted in the model by path-spaces, but did not consider Per Martin-Löf's rules for identity types. It also stratified the universes by homotopy dimension in addition to size, an idea that later was mostly discarded.

On the syntactic side, Benno van den Berg conjectured in 2006 that the tower of identity types of a type in intensional type theory should have the structure of an ω-category, and indeed a ω-groupoid, in the "globular, algebraic" sense of Michael Batanin. This was later proven independently by van den Berg and Garner in the paper "Types are weak omega-groupoids" (published 2008),^[14] and by Peter Lumsdaine in the paper "Weak ω-Categories from Intensional Type Theory" (published 2009) and as part of his 2010 Ph.D. thesis "Higher Categories from Type Theories".^[15]

Intuitionistic type theory

From Wikipedia, the free encyclopedia

Intuitionistic type theory (also known as constructive type theory, or Martin-Löf type theory) is a type theory and an alternative foundation of mathematics. Intuitionistic type theory was created by Per Martin-Löf, a Swedish mathematician and philosopher, who first published it in 1972. There are multiple versions of the type theory: Martin-Löf proposed both intensional and extensional variants of the theory and early impredicative versions, shown to be inconsistent by Girard's paradox, gave way to predicative versions. However, all versions keep the core design of constructive logic using dependent types.

Vladimir Voevodsky revolutionized algebraic geometry and is best known for developing the new field of ‘motivic homotopy theory’. His contributions to computer formalization of proofs and the foundations of mathematics also made an immense impact.

Algebraic geometry is the study of geometric aspects of systems of polynomial equations, such as the equation x2 + y2 = 1, which yields a circle when x and y are real numbers, and something sharing the topological flavour of a circle when x and y are more abstract sorts of numbers. Voevodsky joins a line of great mathematicians, including Bernhard Riemann and Alexander Grothendieck, who built algebraic geometry into a deep and powerful science over the past two centuries. He died in September, aged 51, at his home in Princeton, New Jersey.

Voevodsky was born in Moscow in 1966; his father was a physicist and his mother was a chemist. At first, he studied chemistry; but to understand it, physics was required, so he began to study physics; but for it, mathematics was required, so he began to study mathematics. He then attended Moscow State University, but later stopped going to lectures and thus received no degree. Nonetheless, the mathematics papers he had published were so promising that he was accepted to Harvard University in Cambridge, Massachusetts, as a graduate student without applying (and without having even heard of it), earning his PhD in 1992.

The next ten years were a period of high productivity for him, during which he also married and started a family. He made major progress towards Grothendieck’s grand vision, articulated in the 1960s, of a theory of ‘motives’. Grothendieck’s dream was to produce, for any system of polynomial equations, the essential nugget that would remain after everything apart from the shared topological flavour of the system was washed away. Perhaps borrowing the French musical term for a recurring theme, Grothendieck dubbed this the motif of the system.

In Voevodsky’s motivic homotopy theory, familiar classical geometry was replaced by homotopy theory — a branch of topology in which a line may shrink all the way down to a point. He abandoned the idea that maps between geometric objects could be defined locally and then glued together, a concept that Grothendieck considered to be fundamental. A colleague commented that if mathematics were music, then Voevodsky would be a musician who invented his own key to play in.

In 1996, less than four years after earning his doctoral degree, Voevodsky announced a proof of a famous 1970 conjecture formulated by John Milnor — a stunning first confirmation of the power of his ideas. For this, Voevodsky was awarded the Fields Medal, the premier award in mathematics, in 2002, and was appointed professor in the School of Mathematics at the Institute for Advanced Study in Princeton. Further work by him and others provided proofs for three other important conjectures.

Voevodsky was a visionary and meticulous mathematician, driven by an indomitable will, but always gentle, friendly and open with those who met him. He achieved much, despite being plagued by depression for most of his life. He envisioned projects on a grand scale, with multiple components that could be tackled one at a time over several years. Yet he was extremely adaptable. After success in one field, or finding that a line of research was flawed, he soon moved on. In 1997, for example, he turned to artificial intelligence in robot locomotion, and later to mathematical biology.

In 2002, Voevodsky began thinking about the computer representation of mathematical proofs. Like others before him, Voevodsky dreamed of a global repository of mathematical statements and proofs. This would help mathematicians to accomplish, verify and share their work.

By 2006, he had selected ‘type theory’ as the appropriate formal language for such a repository — it classifies mathematical objects into ‘types’, such as triangles or curves. Voevodsky considered it a more natural language than the set theory conventionally used by mathematicians. The system of concepts he imagined would organize types into an infinite hierarchy, with propositions at level 1, sets of things (such as natural numbers) at level 2, collections of structures (such as triangles) at level 3, and so on. A mechanism called univalence would allow mathematicians to use each other’s work even if they had different approaches to the same underlying concepts.

By 2010, he was ready to try out his ideas on the computer. Within three months, he succeeded in developing a library of thousands of pieces of code for his basic definitions and theorems. He called this repository Foundations.

The system, which he named univalent foundations, was the main topic of study at the Institute for Advanced Study for a year, in 2012–13. The Foundations library was incorporated into a larger one called UniMath, whose aim is to formalize a substantial body of mathematics. At his death, Voevodsky left eight papers in various stages of completion aimed at justifying the soundness of his new system. Univalent Foundations provides the basis for a global mathematics repository and offers the first potentially viable alternative to set theory as a foundation for all of mathematics.

Motivic homotopy theory is blossoming, despite Voevodsky’s change of focus about ten years ago. Many dedicated researchers continue to find new ways to apply his fundamental ideas to algebra, geometry and topology. Similarly, Univalent Foundations is destined to remain a vibrant area of research. Formalizing Voevodsky’s work on motives in the Univalent Foundations would close the circle in a fitting way and fulfil one of his dreams.

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Entrevista a Vladimir Voevodsky (parte 1)

Esta es una entrevista al matemático Vladimir Voevodsky. Por lo general, las entrevistas a los científicos tratan de los aspectos formales de sus actividades, o sea, de lo que es más o menos claro sin preguntas ni respuestas, mientras lo que es realmente interesante e importante permanece oculto. Vladimir Voevodsky fue galardonado con la medalla Fields, es profesor del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, y es el creador de la teoría motívica de homotopía y de los fundamentos univalentes de las matemáticas. Aquí no solo hablaremos de las matemáticas sino de la vida en general, y, en gran parte, de lo que no se menciona públicamente, al menos en los círculos científicos.

Comenzamos esta conversación en Princeton, caminando entre paisajes locales en un bonito atardecer. Nos pareció que una conversación de este estilo puede ser de interés para muchos, tanto matemáticos, como personas que están el la vía de la Búsqueda. Entonces, Roman Mikhailov pregunta. Vladimir Voevodsky responde.

- El próximo año académico en el Instituto de Estudios Avanzados está dedicado a los fundamentos univalentes de las matemáticas, y tu papel es el de fundador de esta línea de investigación. Al mismo tiempo, tus resultados científicos principales, los que te trajeron el reconocimiento y la fama, pertenecen a un campo totalmente distinto: a la geometría algebraica, precisamente, a la teoría de motivos. En tu sitio web has escrito que aunque dedicaste alrededor de veinte años a la teoría de motivos, esta ya no te interesa. ¿Cambiaste radicalmente tu campo de investigación?

- Es una pregunta retórica...

- Tu resultado más conocido es la solución del problema de Milnor sobres los K-funtores de campos. Lo obtuviste allá en 1996. ¿Qué sucedió después? ¿Cómo evolucionaron tus intereses científicos en los siguientes años?

- Para empezar, había que demostrar una generalización de la conjetura de Milnor, conocida ahora como la conjetura de Bloch-Kato. Enuncié las ideas principales de esta demostración a finales el 1996, más o menos cuando escribí la primera versión completa de la demostración de la conjetura de Milnor. El enfoque que inventé para la demostración de Bloch-Kato tenía varios problemas. La demostración dependía, para empezar, de una "sub-conjetura" que generalizaba cierto resultado de Markus Rost, y luego, del desarrollo de los conceptos mucho mas avanzados en la teoría motívica de homotopía de lo que se necesitaba para la conjetura de Milnor. Fue claro que lo primero lo podía hacer Markus, y lo segundo me quedaba a mi. Al final, la primera parte fue terminada, creo que en el 2007 o 2008, por Suslin, Weibel y Zhukhovitsky, basándose en los esbozos de Markus. Yo terminé toda la parte preliminar y toda la demostración apenas en febrero del 2010.

Esto fue muy difícil. Esencialmente, fueron 10 años de trabajo técnico sobre un tema que en los últimos 5, de estos 10 años, ya no me interesaba. Todo se hacía gracias a la fuerza de voluntad.

En el otoño de 1997 entendí que mi contribución a la teoría de los motivos y la cohomología motívica ya estaba hecha. Desde este tiempo estuve en una búsqueda muy consciente y activa. Buscaba el tema que iba a desarrollar cuando cumpliera con mis obligaciones relacionadas a la conjetura de Bloch-Kato. Bastante pronto entendí que si quiero hacer algo realmente serio, debo utilizar al máximo los conocimientos y habilidades en matemáticas que acumulé. Por otro lado, viendo las tendencias del desarrollo de las matemáticas como ciencia, entendí que estaba llegando el tiempo en que la solución de una conjetura más no importaría mucho. Que las matemáticas estaban en la víspera de una crisis, o más precisamente de dos crisis distintas. La primera tiene que ver con la separación de las matemáticas "puras" de las aplicadas. Era claro que, tarde o temprano, se haría la pregunta de que por qué la sociedad debe pagar a la gente que se ocupa de cosas sin aplicaciones prácticas. La segunda crisis, que es menos evidente, está relacionada con la creciente complejidad de las matemáticas puras, cuya consecuencia es que tarde o temprano los artículos de investigación se volverán demasiado complejos como para poder verificarlos en detalle y comenzará el proceso de acumulación de errores desapercibidos. Dado que las matemáticas es una ciencia muy profunda, en el sentido de que los resultados de un artículo suelen depender de los resultados de muchos y de muchos artículos anteriores, tal acumulación de errores es muy peligrosa para las matemáticas.

Entonces, decidí, que hay que intentar hacer algo que ayude a prevenir estas crisis. En el primer caso, esto significaba encontrar un problema aplicado que requeriría para su solución los métodos de las matemáticas puras, desarrollados en los últimos años o, al menos, en las últimas décadas.

Desde niño me interesaban las ciencias naturales (física, química, biología) y la teoría de los lenguajes de programación, y desde 1997 leí mucho sobre estos temas y hasta tomé unos cursos de nivel pre- y postgrado. En efecto, renové y profundicé los conocimientos que poseía hasta un grado sustancial. Todo este tiempo, mientras aprendía, busqué problemas abiertos que me serían de interés y a los cuales podría aplicar las matemáticas modernas.

Finalmente, escogí desacertadamente, como ahora lo entiendo, el problema de reconstruir la historia de una población biológica a partir de su composición genética moderna. Perdí en total alrededor de dos años con este problema y, al final, ya en 2009, entendí que lo que estaba inventando era inútil. Hasta la fecha, fue el mayor fracaso científico de mi vida. Invertí muchísimo trabajo en un proyecto que falló completamente. Claro, hubo algún beneficio - aprendí la teoría de la probabilidad que no sabía bien y muchas cosas sobre la demografía y la historia demográfica.

Al mismo tiempo, buscaba enfoques para el problema de la acumulación de errores en trabajos de matemáticas puras. Me fue claro que la única solución era la creación de un lenguaje en el cual los humanos puedan escribir demostraciones de forma que permita verificarlas por computadora. Hasta el 2005 creí que este problema es mucho más difícil que el problema de la genética histórica del cual me ocupaba. En gran parte, esta sensación fue el resultado de una establecida, y muy común entre los matemáticos, opinión de que las matemáticas abstractas no se pueden formalizar de una manera sensata y al mismo tiempo tan precisa para que las "entienda" una computadora.

En 2005 logré enunciar algunas ideas que inesperadamente abrieron un enfoque nuevo para uno de los problemas principales de los fundamentos de las matemáticas modernas. Informalmente este problema se puede enunciar como cuál es la formalización de la intuición de que los objetos matemáticos "idénticos" tienen propiedades iguales. Los argumentos que usan este principio se emplean con mucha frecuencia en las demostraciones matemáticas modernas; sin embargo, los fundamentos existentes de las matemáticas (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Frenkel) son totalmente inadecuados para la formalización de este tipo de argumentos.

Este problema me fue muy familiar y lo había pensado ya en 1989, cuando trabajé con Misha Kapranov en la teoría de poli-categorías. En aquél entonces creíamos que era imposible de resolver. Lo que logré entender en 2005, combinando las ideas de la teoría de homotopía (parte de la topología moderna) y de la teoría de tipos (parte de la teoría moderna de lenguajes de programación), fue totalmente sorprendente y abría las posibilidades reales de la construcción de aquél lenguaje que los humanos pueden usar para escribir demostraciones que podrían ser verificadas por computadora. Después hubo una gran laguna en mi actividad matemática. Desde junio de 2006 hasta noviembre de 2007 no hice nada de matemáticas. Lo que pasaba en este periodo lo discutiremos en la segunda parte de la entrevista. Ahora, pensando en lo que me pasaba en este periodo, suelo recordar la novela de A. y B. Strugacki "Mil millones de años antes del fin del mundo". Regresé a las matemáticas a finales de 2007. Primero alternaba mi trabajo en intervalos, entre mis ideas relacionadas con la genética histórica y la conclusión de mis trabajos sobre la demostración de la conjetura de Bloch-Kato. Regresé a las ideas sobre la verificación computacional de las demostraciones hasta el verano de 2009, cuando ya me había quedado claro que con la genética histórica no saldría nada. Y literalmente después de unos meses sucedieron dos eventos que elevaron esas ideas del nivel de esbozos generales, los cuales, tenía yo la impresión, requerían años de trabajo, al nivel donde pude anunciar que había inventado nuevos fundamentos de las matemáticas, y que estos permitirán resolver el problema de la verificación de las demostraciones por computadora. Ahora esto se llama "los fundamentos univalentes de la matemáticas" y tanto los matemáticos como los investigadores de la teoría de lenguajes de programación trabajan sobre el tema. Estoy casi seguro que estos fundamentos pronto sustituirán la teoría de conjuntos y que el problema del lenguaje de las matemáticas abstractas "entendido" por computadora se puede considerar básicamente resuelto.

- ¿Cómo se percibe esta ideología por la comunidad matemática contemporánea? Concretamente ¿los expertos en categorías, lógica, homotopía? ¿Tienes muchos aliados entre los matemáticos profesionales, que estén preparados a trabajar en serio sobre los fundamentos univalentes?

- La reacción es mixta. En cuanto a los aliados, ya se juntaron bastantes y llegan más y más. Por supuesto, que es más difícil para los expertos en lógica y los fundamentos de la matemáticas, ya que lo que propongo relega tanto la teoría de conjuntos como la lógica clásica a segundo plano.

- ¿Entiendo bien que ahora estás tratando de explicar a las máquinas la intuición categórica y homotópica en la que se basan muchas de las construcciones nuevas de las matemáticas modernas?

- No es así. Esto fue la primera etapa que se terminó en el otoño de 2009. Ahora se está haciendo el trabajo mucho más técnico de la perfección del propio lenguaje. Los primeros ejemplos de la clase con la que trabajo se crearon a finales de los 1970 y se conocen como "teorías Martin-Lof de tipo". Es sorprendente que los lenguajes existían, y que sistemas de software que usaban estos lenguajes se desarrollaban y hasta se volvían populares (sobre todo el sistema "Coq" creado por los franceses). Sin embargo, no se entendía qué fue lo que se podía expresar en estos lenguajes. Como ahora es claro, se utilizaba sólo una pequeña parte de las posibilidades del lenguaje, la que permitía hablar de conjuntos. El lenguaje, sin embargo, permite hablar de los tipos de homotopía de cualquier nivel de complejidad. La diferencia es enorme. Como consecuencia, los lenguajes mismos no se mejoraban porque no era claro que es lo se puede cambiar y que es lo que no. Ahora, ya que entendemos qué es lo esencial en estos lenguajes y qué no, se abre la posibilidad de "potenciarlos" significativamente, y entonces hacerlos más cómodos para fines prácticos.

- ¿Cuándo crees que una computadora podrá verificar tu solución al problema de Milnor?

- Si uno se propone escribir una versión formal de la demostración usando el sistema ya existente Coq para demostraciones formales, esto tal vez se puede hacer en 3-4 años. No pienso hacer esto, ya que creo que es mucho más importante e interesante desarrollar un sistema nuevo para demostraciones formales usando la semántica univalente y la nueva visión del "sentido" en los lenguajes de la teoría de tipo que esta semántica enseña. No tengo ninguna idea cuanto tiempo puede tomar ésto.

- Hace un par de años en un congreso dedicado a los problemas generales de ciencia, en San Petersburgo, diste un discurso donde dijiste lo siguiente: "Lo que ahora llamamos la crisis de la ciencia rusa no es crisis de la ciencia únicamente rusa. Está presente una crisis de la ciencia mundial. El progreso real consistirá en una pelea muy seria entre la ciencia y la religión, que terminará en su unificación. Y no me golpeen." Debo confesar que cuando leí esto, me reí de tanta alegría que me dió. Algo parecido a la felicidad me produjo saber que alguien, por fin, se expresó sobre lo profundo; no sobre la politica-financiamiento-economía, sino sobre algo de importancia real. Pero esta frase seguramente se quedó fuera del alcance de muchos. Fuiste educado con paradigmas materialistas, con la ideología, estética y moral correspondientes. Según tus antecedentes sociales eres de inteligentsia soviética, además, con una carrera científica brillante. La sociedad, los estereotipos afirman a gritos que en la vida de una persona como tú no hay lugar para la religión ni el misticismo. Pero tu abiertamente hablas de cierta unión de la ciencia con la religión, el escritorio en tu casa lo tienes lleno de textos hinduistas, libros de texto del sánscrito, libros en el griego antiguo, en los libreros hay libros de fenómenos sobrenaturales, el shamanismo, historia de las religiones. ¿Cómo es esto?

- El asunto es como sigue. Como ya he dicho, conozco bastante bien, para ser un aficionado, las ciencias naturales. Algunas ramas de física, unas ramas de biología, química, un poco de geología y de paleontología. Además, me interesaba seriamente por la inteligencia artificial y la semántica de lenguajes. En 1997-1999 leí varios libros contemporáneos cuyos autores intentaban crear algo como una filosofía científica, es decir, combinar las teorías científicas existentes en una visión general de nuestro mundo. Recuerdo especialmente bien el libro de Edward Wilson "Consilience". Como matemático, tengo una sensibilidad especial para encontrar los "agujeros" en los argumentos, el lugar donde la conclusión no es una consecuencia de las premisas sino que está, como dicen, sacada de la manga. Entonces, después de haber leído todos estos libros, quedé convencido de que todos los que dicen que la ciencia moderna explica el mundo se equivocan. Si, algunas ciencias sí explican algunos conjuntos de fenómenos con mucha precisión y éxito. Sin embargo, estas explicaciones de ninguna manera se juntan en una visión completa del mundo. Más aún, algunas llamadas explicaciones científicas no son otra cosa que una burla. El ejemplo más importante de esta situación es el darwinismo. Sin duda, la biósfera de la Tierra se desarrollaba y se sigue desarrollando, y los procesos de la selección natural y de las mutaciones aleatorias juegan cierto papel en este desarrollo. Sin embargo, estos procesos de ninguna manera explican este desarrollo. Cabe mencionar que esto se empieza a discutir entre los biólogos de alto nivel, pero todavía hace diez años en los Estados Unidos un biólogo podría dañar seriamente su carrera científica al expresar este punto de vista.

Entendí lo poco que explican nuestras ciencias, en realidad, cuando tenía como 35 años, o sea alrededor de 2001. En aquel entonces no lo conectaba con el hecho de que en el siglo 20 la ciencia excluyó de su atención lo que ahora se llama "lo sobrenatural". Aún creía que todo lo religioso y místico es un engaño o una equivocación. Tuve esta actitud muy firme hasta 2007. El periodo de 2001 a 2006 fue muy difícil para mi. Algunos de esos años sólo me salvaba dedicándome a la fotografía de la naturaleza. Varias imágenes de aquel periodo se pueden encontrar aquí: http://pics.livejournal.com/vividha/ .

- Sucede que uno llega a la búsqueda espiritual después de un encuentro con algo que no cabe en su comprensión, en la visión del mundo usual. Por ejemplo, cuentan que Gurdjieff de niño fue testigo de un acto ritual en el cual unos chicos pintaron un círculo alrededor de un niño yazidí, y éste no podía salir de él. Asombrado por lo sobrenatural, y por la crueldad humana, Gurdjieff comenzó a buscar nuevos conocimientos sobre el mundo y sobre el humano. ¿Tuviste algunos puntos, fenómenos inexplicables que te dieron el impulso para cambiar tu visión?

- En los años 2006-2007 sucedieron varios eventos, tanto externos como internos, después de los cuales mi punto de vista sobre la cuestión de lo "sobrenatural" cambió esencialmente. Lo que me pasaba en estos años, probablemente, se puede comparar con lo que pasaba a Carl Jung en 1913-1914. Jung lo llamó "confrontación con el inconsciente". No se como llamarlo, pero lo puedo describir brevemente.

Permanecía en el estado más o menos normal, salvo mis intentos de discutir lo que me pasaba con la gente con quien probablemente no debí hacerlo. Al mismo tiempo, en unos meses adquirí una experiencia sustancial de visiones, voces, periodos en que ciertas partes de mi cuerpo no me obedecían y multitudes de ocurrencias inverosímiles. El periodo más intenso fue a mediados de abril de 2007 cuando pasé 9 días (7 de ellos en Salt Lake City, la capital de los mormones) sin quedarme dormido una sola vez.

Casi desde el principió descubrí que puedo controlar muchos de estos fenómenos (voces, visiones, varias alucinaciones sensoriales). Entonces, no tenía miedo ni me sentía enfermo, sino tomaba lo que estaba sucediendo como algo muy interesante y trataba de interactuar en los espacios auditivo, visual y luego también táctil con los "seres" que aparecían, solos o después de ser llamados, alrededor de mi. Debo aclarar, tal vez, para evitar especulaciones, que en este periodo no tomaba ninguna droga, procuraba comer y dormir mucho y bebía vino blanco rebajado con agua.

Un comentario más: bajo "seres" entiendo, obviamente, lo que en la terminología moderna se llama alucinaciones complejas. La palabra "seres" subraya que estas alucinaciones "se portaban" de una manera independiente, tenían memoria independiente de la mía, y reaccionaban a mis intentos de comunicación. Además, frecuentemente se percibían de una manera concertada en modalidades sensoriales distintas. Por ejemplo, algunas veces jugué con una pelota (alucinada) con una joven (alucinada) y veía la pelota y la sentía con la palma de la mano cuando la aventaba.

Aunque todo esto era muy interesante, también me pesaba mucho. Esto pasaba durante varios periodos, de los cuales, el mas largo duró desde septiembre de 2007 hasta febrero de 2008, sin parar. Hubo días en los que no podía leer y días en los que la coordinación del movimiento estaba tan perturbada que me costaba trabajo caminar.

Pude salir de esta condición gracias a que me obligué a retomar las matemáticas. Para mediados de la primavera de 2008 ya podía funcionar más o menos bien y hasta fui a Salt Lake City a ver los lugares en donde anduve sin saber en donde estaba, durante la primavera de 2007.

Hay que decir que, a pesar de un sinnúmero de conversaciones con los "seres" no materiales durante este periodo, no entendí absolutamente nada de lo que pasó. Me "ofrecieron" una cantidad de explicaciones, incluyendo hipnosis, extraterrestres, demonios y sociedades secretas de personas con capacidades mágicas. Ninguna de las explicaciones explicaba todo lo que yo veía. Al final, como necesitaba alguna terminología en las conversaciones, comencé a llamar todos estos seres "espíritus", aunque ahora creo esta terminología está equivocada. También en estas conversaciones sonaban los términos "sistema mundial" (aparentemente, de control sobre la gente) y, sobre todo, en el principio, "el juego, cuya dueña es el miedo".

Después de regresar a una condición más o menos normal y, en particular, cuando pude leer otra vez libros serios, comencé a estudiar muy intensamente los campos de conocimiento que antes desatendía. En primer lugar, quise encontrar descripciones de eventos parecidos que le sucedieron a otras personas. Debo decir, no lo logré (si no cuento a Jung). Algo ligeramente parecido, pero sin visiones, le sucedió a Karen Armstrong, quien, después de eso, empezó a escribir libros sobre varias religiones. Hubo muchas descripciones de personas experimentando visiones, voces, condiciones emocionales insólitas que duraban varias horas o días ("experiencia mística"). Generalmente, esto, o los fortalecía en su religión, o los volvía religiosos. Un ejemplo clásico y muy interesante de cuando eventos de este tipo duraban mucho tiempo es el de Svedenborg. Sin embargo, esto no parecía a mi caso: Svedenborg rápidamente aceptó lo que le pasaba como divino y después de eso el proceso ya tuvo un desarrollo muy distinto. Tal vez, la historia más interesante para mi fue la "confrontación con el inconsciente" de Carl Jung, ya que Jung, a diferencia de mi, tuvo encuentros con lo "sobrenatural" desde niño y creía en Dios.

Entrevista a Vladimir Voevodsky, parte 2

Román Mikhailov

Ésta es la continuación de la entrevista a Vladimir Voevodsky, hecha por Román Mikhailov. La primera parte causó un interés considerable entre los lectores [del blog de Román Mikhailov]. Agradecemos las preguntas interesantes y continuamos.

Me cuesta trabajo imaginar qué es lo que siente un ateo cuando se le presentan niveles de realidad para los cuales no está acostumbrado. Para las personas cuya formación y percepción de la realidad son religiosas, es una parte del camino: los estados en los cuales se le presentan aspectos nuevos de la existencia le son normales, ¿cómo vivir sin ellos? Yo, desde que me acuerdo, buscaba el misticismo, siempre en exploración, creyendo y hallando, me aventaba a las sectas y sociedades secretas. Entiendo que tú, al contrario, un día simplemente llegaste a lo “incomprensible”; se presentó ante ti una realidad extraña. Algo como ¿qué hacer si te miran los ángeles y, después de que cierres y vuelvas a abrir los ojos, te siguen mirando? Lo que es normal para alguien con una educación mística y religiosa, a otra gente la puede enloquecer fácilmente.

Probablemente, en ese momento no fui precisamente ateo sino, más bien, agnóstico. Mi reacción fue doble. Primero, me indigné porque lo que se me había revelado consistía, en la mayor parte, en mugre y burla de la gente. Segundo, sentí admiración y esperanza cuando en esa mugre percibí algo de amor, belleza y sentido.

No me enloquecí, aunque, a veces “me pasaba de la raya” y empezaba a creer en una u otra “teoría”. Usualmente, esto se corregía pronto, casi siempre en unas horas. Los periodos depresivos eran más serios. Durante esos periodos me ayudaba mucho pensar que hay que seguir luchando porque de eso, en parte, depende el mundo espiritual en el cual vivirán los niños de hoy.

Mencionaste [en la parte 1] “el juego, cuya dueña es el miedo”. ¿Qué es el miedo?

Para empezar, pienso que hay muchos “miedos”. Por ejemplo, existe un miedo que incentiva a la acción, y hay un miedo que hace que te tiemblen las piernas. El primer tipo de miedo se entiende; es la reacción del cuerpo ante las situaciones que se perciben como peligrosas y sirve para evitar tales situaciones. El segundo tipo de miedo es mucho menos entendible. Conjeturé que es uno de los mecanismos de regulación de los ecosistemas. Por ejemplo, cuando hay una cantidad excesiva de venados en un bosque se puede activar un mecanismo oculto que cambia el miedo que experimenta un venado al ver un lobo del primer tipo al segundo; esto facilita la captura del venado por el lobo.

Un miedo puede ser alucinado; no es exactamente paranoia ya que la persona es este momento puede estar en un estado bastante racional y entender que no hay ninguna razón para tener miedo y, sin embargo, experimentarlo, tener las manos temblando, etc.

El miedo puede superarse; sin embargo, los fenómenos que lo acompañan (temblor en las manos, debilidad en las piernas) a veces se quedan, lo que es bastante desagradable.

Desde el punto de vista de los espíritus, entiendo que el miedo es un método cómodo y eficiente de influenciar a la gente.

Aquí se trata de una multitud de aspectos de una experiencia muy sui generis; la impresión que se queda es de un flujo incontrolable de fenómenos complejos. ¿Qué es lo que aprendiste de esta experiencia y definiste para ti mismo como lo importante?

Las cosas realmente profundas que aprendí en estos años son el arte de observar mi propio mundo interior en el nivel verbal y en otros niveles y el arte de analizar estas observaciones racionalmente. Por ejemplo, tomar nota cuando en mi flujo de pensamientos aparecen “voces” nuevas o distinguir estilos de alucinaciones visuales y de otros sentidos. Estas artes, en cierto grado, implican conservar la claridad de pensamiento aun cuando estás sumergido en un estado emocional intenso y prestar atención a los detalles, a la “construcción” de las impresiones que estás experimentando, y no sólo a su contenido.

El otro grupo de observaciones que me parece importante conduce, básicamente, al hecho de que lo que percibimos como los eventos de nuestro mundo interior, “creados” activamente en el tiempo real, con frecuencia no lo son. Más que nada, son unos prototipos que “se reproducen” como unas grabaciones, de tal forma que aparece una ilusión muy realista de que lo que sucede cuenta con nuestra participación y pasa “ahora”.

¿Qué es la locura?

Si quieres una definición funcional, aquí tienes, por ejemplo, el siguiente: la locura es la incapacidad no relacionada con una enfermedad física de ser un miembro productivo de la sociedad.

Pero, ya en serio, no sé.

Decías que se te ofrecían explicaciones de la estructura del mundo. Y si bien entiendo, todo resultaba ser una estafa metafísica. Superabas nivel tras nivel de “explicaciones” y entendías que tu consciente estaba siendo manipulado, que alguien construía dentro de ti sistemas filosóficos enteros y que esto fue como una intrusión. ¿Era así?

Es difícil construir un sistema filosófico real exclusivamente a base de unas influencias externas. Desde fuera, de un modo que no entiendo, llegan las “semillas”: ideas cortas, asociaciones, etc. En la gran mayoría de los casos, lo que sale de estas semillas, si se les permite crecer libremente, es inútil o nocivo. Una vez usé para estos sistemas el nombre interesante de “riendas”. Es decir, es lo que se puede usar después para dirigir el comportamiento de una persona. Lo que haga la persona con estas semillas, si las deja crecer o las descarta rápidamente, depende mucho de su habilidad en el manejo de su mundo interior.

Este problema se dificulta por el hecho de que, a veces, estas “semillas” aparecen acompañadas con otros fenómenos de carácter no intelectual sino emocional e incluso real, los cuales parecen confirmar el sistema en proceso de formación. Otra propiedad importante de estas semillas y de los sistemas que crecen de ellas es que usualmente contienen (sobre todo al principio) unas ideas verdaderamente correctas e interesantes. La transición de la verdad a la falsedad en estos sistemas, con frecuencia, es difícil de notar. La persona empieza a confiar en su flujo de pensamientos en el proceso de formación; después empieza a creer en su desarrollo que ya es falso y luego le es difícil admitir que creyó en una estupidez y se engaña a sí mismo para no sentirse tonto. Frecuentemente, los sistemas se forman de tal modo que, a partir de cierto nivel, se mantienen también con el miedo.

Mencionaré mi percepción de unos fenómenos cercanos. ¿Sabes?, hace un par de años me puse a estudiar magia con cartas para entender mejor la estructura del engaño. Al principio, parecía que esto era imposible, que nadie puede ser engañado con trucos parecidos, pero la práctica dice que un truco funciona casi siempre. Mientras más me familiarizaba con esta actividad, más me sorprendía lo sofisticado de las manipulaciones conocidas con las cartas y, también, lo descarado de ellas. Hay métodos para obligar al espectador, como cuando se le proporciona una carta y se le hace creer que él la escogió. Hablas de cosas parecidas, sólo que las manipulaciones se hacen en el nivel de la metafísica. Por el otro lado, ya sabes, los archivos de los manicomios guardan múltiples historias de quienes han luchado contra la “gran estafa”, quienes han construido sus metafísicas tratando de superar las sartas de engaños para lograr comprender la verdad; quienes graficaron sus esquemas cosmológicos. Sí, seguro que también hay libretas escolares con estos esquemas en los archivos. Y el mundo académico, con la estética refinada, su autorreflexión y sus valores, ¿no será una estafa? No es una pregunta sino una especie de discurso no dirigido a nadie. ¿Sabes?, si no sintiera que estoy explotando por la conciencia que tengo de las sartas de las estafas, no vería la necesidad de una entrevista así. A veces, miro hacia adentro y me grito a mí mismo: “Construye tu propia metafísica o te llenarán de formas prefabricadas que te harán vomitar toda tu vida” (perdón, me ganaron las emociones, continuemos con la entrevista).¿Cómo puedes vivir en Estados Unidos?

¿Sabes?, siento que cuando todo aquello me pasó en abril del 2007, además del lado místico del asunto, hubo un lado puramente “social”: sólo después de eso empecé a sentirme cómodo en Estados Unidos. Pasé la “iniciación”.

Estuviste dos veces en India; visitaste, tanto el sur cómo Allahabad, Kanpur, Delhi. Después de dar un paseo por Magh Mela; interrogaste a los profesores locales sobre la estructura de aquella sociedad; a veces, tus preguntas fueron inesperadas y graciosas; por ejemplo, si los gurúes de Magh Mela pagan impuestos de sus “dakshinas”. ¿Qué opinas de ese país, en general? ¿Piensas regresar? ¿Puedes imaginar quedarte a vivir y trabajar ahí?

Es un país grande y complejo. Por ejemplo, los lugares que visité en el sur no se parecen en nada a lo que vi en India central. No veo por qué no volvería. Sin embargo, difícilmente, me imagino una situación en la cual decidiría quedarme a vivir y trabajar ahí.

Después de publicar la primera parte de la entrevista [en el blog de Roman Mikhailov], recibimos muchas preguntas. En particular, tus opiniones sobre la ruptura entre las matemáticas puras y las aplicadas causaron mucho interés. Esta ruptura, claro está, la sienten, prácticamente, todos los matemáticos, pero las conclusiones que sacan son distintas. A mí no me produce más que alegría: se puede trabajar en mundos muy profundos sin el riesgo de hacer daño en el mundo real. Según tus palabras, sin embargo, tu actitud es radicalmente diferente; más aún, por mucho tiempo buscaste dónde se puede aplicar la matemática avanzada moderna y no encontraste. Uno de los lectores pregunta: ¿todavía hay esperanza de hacerlo? ¿O es un problema que no parece tener solución positiva?

En cuanto a la cuestión del acercamiento de las matemáticas puras y las aplicadas, veo la siguiente situación. Las matemáticas puras tratan de modelos de alto nivel de abstracción y de complejidad baja (a los matemáticos les gusta llamar “elegancia” a esta complejidad baja). Las matemáticas aplicadas tratan de modelos más concretos, pero de nivel más alto de complejidad (muchas ecuaciones, variables, etc.). Las aplicaciones interesantes de las matemáticas puras modernas, probablemente, están en el campo de alta abstracción y alta complejidad. Este campo hoy en día es prácticamente inaccesible, sobre todo, debido a la capacidad limitada que el cerebro humano tiene para trabajar con modelos de este tipo. Cuando aprendamos a usar las computadoras para trabajar con objetos matemáticos abstractos, este problema dejará de ser un obstáculo y ahí es cuando aparecerán aplicaciones interesantes de las ideas de las matemáticas modernas.

Así que ahora pienso que mi trabajo en el campo de los lenguajes de programación que permiten trabajar con objetos matemáticos será útil en el futuro, así como también la cuestión de las aplicaciones de las ideas de las matemáticas modernas puras a los temas aplicados.

Recibimos otras preguntas relevantes; en particular, sobre el periodo de tiempo en el que intentaste aplicar matemáticas a la genética histórica. ¿Qué es lo que querías obtener y por qué fracasaste?

Al principio, quise entender la dinámica de la parte recombinante del genoma y entender si de ahí se puede extraer algo de información sobre la dinámica de las poblaciones en el intervalo histórico de los tiempos; es decir, de ahora a 10 mil años atrás.

Pronto entendí que esto es muy difícil. Falta conocimiento de la estructura demográfica de las poblaciones incluso de los últimos siglos. Por ejemplo, se sabe la distribución del número de hijos que tiene un hombre o mujer típica, digamos, en una ciudad dada. Esta información se puede encontrar. ¿Y la distribución del número de nietos? Se puede suponer, por supuesto, que el número de hijos no depende del número de hermanos, pero es, aparentemente, falso. ¿Y los bisnietos? Éste es el primer problema. Es una tarea para los historiadores y los demógrafos. Se trabaja en esto ahora, sobre todo, en Europa, con base en los archivos parroquiales. Esos datos son muy completos, así que poco a poco tendremos esta información disponible.

Por otro lado, llegué a darme cuenta de que nadie sabe realmente de la estadística ni del fenómeno de la recombinación ni del fenómeno de la mutación. Estos datos son difíciles de medir. Ahora hay más y más material proveniente de las bases de datos de la policía, por un lado, y de los datos de las compañías que se dedican a la genética genealógica, por el otro; la situación paulatinamente se mejora. Sin embargo, cuando comencé a estudiar el tema, simplemente no hubo datos.

Desde el punto de vista matemático, la situación tampoco fue propicia, ya que nadie había estudiado en serio procesos tan complejos y no-homogéneos en el tiempo. Al final, inventé cierta formalización nueva para los procesos de Markov basada en la noción de un sistema de caminos. El artículo salió bastante largo y técnico y, por el momento, queda sin terminarse. Pienso volver a él y acabarlo ya teniendo un cómodo proof assistant en computadora.

Otra de las preguntas de los lectores: “La ciencia busca las descripciones más compactas (esto lo dijo Alan Kay, el inventor de Smalltalk). Entonces, ¿usted hace ciencia? ¿busca descripciones más compactas?”

No estoy de acuerdo. Es decir, tal vez hago ciencia a veces, pero no es el punto. La ciencia debe recolectar y aprehender los conocimientos nuevos. Es muy importante: recolectar. Existe un punto de vista que considera que, más o menos, todas las observaciones ya están hechas; el esquema del mundo ya es claro y solamente queda la tarea de estructurar estos conocimientos y juntarlos en una teoría compacta y bonita. Esto es fundamentalmente falso. Y no sólo falso, sino conduce a una tendencia muy negativa de ignorar todo lo que no cabe en una teoría o conjetura ya hecha. Es uno de los problemas más importantes en la ciencia moderna.

Otra cita. “Expreso mi tímida esperanza de que, en la segunda parte, habrá más palabras sobre el análisis crítico de las visiones que usted tuvo y sobre la relación de estas visiones con la realidad física”.

Primero diré algo sobre una idea muy general que me costó mucho trabajo aceptar; sin embargo, basándome en la experiencia de los últimos cinco años, no puedo inventar otra cosa. Alrededor de nosotros hay conciencias no humanas. Bajo la palabra “conciencia” entiendo un sistema informático con memoria, motivaciones, capacidad de modelar el mundo exterior y de planear. No son “extraterrestres” sino auténticamente terrestres y, lo más probable, más antiguos que los humanos. Estas conciencias afectan la vida de los humanos activamente (y, a veces, negativamente).

El mundo de estas conciencias es muy complejo, tal vez, comparable en la complejidad con la parte del mundo que llamamos “la realidad física”. No quiero especular sobre la estructura de este mundo porque, para esto, me faltan hechos, observaciones. Incluso las preguntas más sencillas hoy en día para mí no tienen respuestas inequívocas. Estoy seguro de que estas conciencias interactúan con los humanos; casi seguro que interactúan con los animales superiores. ¿Y cómo interactúan con los animales inferiores?, ¿con la materia inanimada? Las consideraciones lógicas que deben ser satisfechas por un esquema global del mundo sugieren que también ha de haber interacción. En este sentido, ellas también son una parte de la “realidad física”, sólo que son una parte de la cual sabemos muy poco. Esta parte del mundo debe ser estudiada, y estudiada con la metodología científica.

Por supuesto, hubo intentos de este tipo de estudios. Sobre todo, a finales del siglo XIX; pero en aquél entonces no hubo suficientes posibilidades para eso. Ahora, me parece, un estudio de este tipo puede comenzar con el grupo de fenómenos llamados synchronicity (o “sincronías”) por Jung. En palabras simples, son los patrones (no naturales desde el punto de vista de los modelos existentes) en el comportamiento individual o colectivo de los humanos.

Ahora, por la primera vez, hay una posibilidad de documentar estos patrones (o sea, registrarlos con aparatos) y comenzar a estudiar su estructura. Esta posibilidad la tenemos gracias a la existencia de un número gigantesco de grabaciones, tanto de voces humanas (por ejemplo, en las entrevistas en la radio) como de movimientos humanos (por ejemplo, los registrados en las cámaras de seguridad). Estos datos se deben analizar tomando en cuenta la hora de la grabación. Estoy casi seguro que, de esta manera, se pueden encontrar patrones en el comportamiento de la gente que, por un lado, no se explican por su actividad consciente y, por el otro, son demasiado complejos y demasiado bien definidos en el tiempo físico como para poder ser explicados como subconscientes individuales.

Personalmente, no quiero dedicar mi tiempo a esto, aunque a veces siento un impulso interior en esta dirección. Tengo una gran esperanza de que haya gente que tendrá, tanto el acceso a los datos necesarios, como la valentía y el deseo de dedicarse a este problema. Esto será una ciencia verdadera. De aquí comenzará el camino hacia la verdadera comprehensión de la estructura y las fuerzas motrices del proceso histórico y, después, del proceso global de la evolución de la vida.

He aquí una idea concreta: hacer un página web (por ejemplo, una página de LiveJournal) donde cualquier persona podría dejar un comentario si le sucede una sincronía, es decir, mientras escuchan la radio o la televisión pensando en lo suyo y,repentinamente, escuchan una palabra que continúa su pensamiento o responde a una pregunta que tenían en la mente. Lo principal en un comentario de este tipo debe ser la palabra o la frase escuchada. Como información adicional, se puede dejar o no dejar el contexto de los pensamientos, la hora y la estación de radio o el canal de televisión. Los casos más valiosos en este sentido suceden en el momento de prender la radio y estos casos se deberían señalar.

Mi conjetura consiste en lo siguiente: en el flujo de palabras que escuchamos en la radio hay regularidades en la aparición de ciertas palabras o ciertos grupos de palabras unidos por su sentido que dependen del tiempo físico (con precisión de segundos) y que no se registran en las mentes de los que pronuncian estas palabras. Después, se puede tomar un buen software de reconocimiento de voz que ponga en correspondencia los momentos de tiempo con las palabras individuales y se puede generar una base de datos de las sucesiones de las horas exactas de la pronunciación para cada una de las palabras que figuran más frecuentemente en los reportes de las sincronías. Finalmente, hay que buscar las desviaciones de la aleatoriedad en estas sucesiones.

Ahora hay un campo entero de las matemáticas llamado la “teoría de sucesiones seudoaleatorias”. Son sucesiones que, a la primera vista, parecen aleatorias pero que, en realidad, son altamente predecibles. Tenemos todo un grupo aquí que se dedica a ellas. Así que es matemáticamente posible encontrar la existencia de los patrones ocultos.

También hubo varias preguntas sobre los siquiatras y la esquizofrenia. Es claro que muchos considerarán revelaciones semejantes como manifestaciones de esquizofrenia: una persona relatando abiertamente sus visiones y alucinaciones complejas.

Trataré de contestar. Lo primero que hice al regresar de Salt Lake City, fue ir a un hospital y hacer análisis estándares y las radiografías de varias partes de mi cuerpo porque, además de las experiencias mentales, en ese periodo había experimentado una gran cantidad de sensaciones somáticas extrañas. Me dijeron que estoy completamente sano. En general, mi salud física ha mejorado en los últimos cinco años, aunque, obviamente, he envejecido. No consulté a los siquiatras. Desde el principio me fue claro que no es esquizofrenia. En todo esto, hay un tema más general: la conexión entre los trastornos síquicos y las conciencias que ya mencioné. Es un tema complejo y creo que su estudio requiere de expertos honestos, inteligentes y valientes.

¿Queres añadir algo más para finalizar?

Creo que faltó decir muchas cosas sobre los temas que discutimos. Regresemos a esta entrevista, digamos, en un año y veremos qué habrá de nuevo y qué será lo que habrá cambiado.

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miércoles, 27 de enero de 2021

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