Algebra booleana y compuertas lógicas.
DEFINICIONES BÁSICAS
El álgebra booleana, puede definirse con un
conjunto de elementos, un conjunto de operadores y u número de axiomas no
probados o postulados.
Un conjunto de elementos es cualquier
colección de objetos que tienen una propiedad común. Si S es un conjunto y, x y
y son ciertos objetos, entonces x S
denota que x es un miembro del conjunto
S.
Un operador binario definido en
un conjunto S de elementos es una regla que asigna a cada par de elementos de S
un elemento único de S. Como ejemplo, considérese la relación a*b = c. Se dice
que * es un operador binario y especifica una regla para encontrar c mediante
el par (a,b) y también si a,b,c estan en
S. Sin embargo, * no es un
operador binr¿ario si a,b están en S, si la regla encuentra que c no está en S.
Los
postulados de un sistema matemático forman los supuestos básicos mediante los
cuales es posible deducir las reglas, teoremas y propiedades del sistema. Los
postulados más comunes que se utilizan
para formular diversas estructuras algebraicas son:
- Cierre. Un conjunto S está cerrado con respecto a un operador
binario si, para cada par de elementos de S, el operador binario
especifica una regla para obtener un elemento único de S.
- Ley asociativa. Un operador binario * en un conjunto S se dice que
es asociativo siempre que (x*y)*z =
x*(y*z) para todos x,y,z que están en S.
- Ley conmutativa. Un operador binario * en un conjunto S se dice
que es conmutativo siempre que:
X*y = y*x , par todos x,y que están en S
- Elemento identidad. Un conjunto S se dice que tiene un elemento
identidad respecto a una operación binario * en S si existe un elemento e
que está en Scon la propiedad :
E* x = x*e =
x para cada x que está en S
Ejemplo x+ 0 = 0+x = x, en este caso el 0 es el
elemento identidad para el operador suma +.
- Inversa. Un conjunto S que tiene el elemento identidad e con
respecto al operador binario * se dice que tiene una inversa que, para
cada x que está en S, existe un elemento y que está en S tal que
X*y = e
Ejemplo: En el conjunto de enteros I con e=0,
la inversa de un elemento a es –a ya que +a(-a)=0
- Ley distributiva. Si * y ** son dos operadores binarios en un
conjunto S, * se dice que es distributivo sobre ** siempre que:
x*(y**z) = (x*y)**(x*z)
Un ejemplo de una
estructura algebraica es un campo. Un campoes un conjunto de elementos, junto
con dos operadores binarios.
El campo de los números reales es la base de
la aritmética y del álgebra ordinaria. Los operadores y los postulados tiene
los siguientes significados:
El operador binario + define la adición.
La identidad aditiva es 0.
La inversa aditiva define la sustracción.
El operador binario * define la
multiplicación.
La identidad multiplicativa es 1
La inversa multiplicativa de a es 1/a define
la división, esto es, a* (1/a) = 1
La única ley distributiva aplicable es la de *
sobre +:
a*
(b+c) = (a*b)+ (a*c)
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
En 1954 George Boole introdujo un tratamiento
sistemático de la lógica y desarrolló para este propósito un sistema algebraico
que ahora se conoce como álgebra booleana.
En 1938
C. E. Shannon (2) introdujo un
álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores,
en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables
con interruptores pueden representarse con esta álgebra. El álgebra booleana es
una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos
operadores binarios + y * siempre que satisfagan los siguientes postulados
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
- (a) Cierre con respecto al operador +.
(b)
Cierre con respecto al operador *.
- (a) Un elemento identidad con respecto a +, designado por 0: x+0 =
0+x = x
(b) un elemento identidad con respecto a , designado
por 1: 1*x = x*1 = x
- (a) Conmutativo con respecto a +: x+y = y+x
(b) Conmutativo con
respecto a : x*y = y*x
- (a) * es distributivo sobre
+: x*(y+z) = (x*y) + (x*z)
(b) + es
distributivo sobre +: x+ (y*z) = (x+y)* (x+z)
- Para cada elemento x que está en B, existe un elemnto x’ que
est´en B (denominado complemento de x) tal que: (a) x+x’ = 1 y (b) x* x’ = 0
- Existen cuando menos dos elementos x,y que están en B tales que x
es distinto de y.
El álgebra booleana se parece en algunos aspectos
l álgebra ordinaria
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