LA APROXIMACIÒN SEMICLASICA

LA APROXIMACIÒN SEMICLASICA
Un tratamiento completo de mecànica cuàntica sobre el esparcimiento elàstico desde un potencial central W(R) inicia desde la ecuaciòn independiente del tiempo de Schrödinger  (en el sistema coordenado del centro de masa)

(2.33)

el cual tiene que resolverse sujeto a la condiciòn de frontera

(2.34)

donde E = .


El primer término en (2.34) representa una onda plana incidente paralela al eje Z y el segundo representa las ondas esparcidas hacia afuera. La amplitud de la onda esparcida, , determina la secciòn de cruce diferencial dentro de la relaciòn


En el tratamiento de onda-parcial (partial-wave) de Faxén y Holtsmark (1927), es desarrolladsa en series de polinomios de Legendre. Se asume que W(R) no es más singular en el origen de lo que es * y no es significativo, en *, más rápido que 1/R. Si Pl(x) es el polinomio de Legendre de oren l, tenemos:

(2.36)

donde las funciones radiales Ul(R) son las soluciones regulares de:

(2.37)

Estas soluciones tienen la forma asintótica a lo largo de R:

(2.38)

donde Cl y * son independientes de R. Las constantes * son conocidas como las fases superiores (phase shifts), y determinan la amplitud de esparcimiento, las cuales tienen una expansión en serie como se muestra a cotinuación:

(2.39)

La expresión (2.39) para f(*) siempre es convergente para el potencial central satisfaciendo las condiciones específicas, pero la evaluación de la suma es algunas veces impractica, o inconveniente, en el esparcimiento átomo-átomo debido a la gran cantidad de valores de importancia asociados a l, (o de l).

Debido a esta dificultad, métodos semi-clásicos han sido desarrollados, los cuales tienen mucha de la simplicidad de la aproximación puramente clásica, pero los cuales permiten para los efectos de interferencia cuántica, los cuales son producidos en el esparcimiento por potenciales reales.

En la aproximaciòn semi-clàsica (Ford y Wheeler 1959; Berry y Mount 1972; Child 1974), los términos principales son retenidos en la expansión de el levantamiento de fase * en potencias de h, usando el método WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). Un potencial efectivo de una dimensión Weff(R) puede ser definido como

(2.40)

donde el segundo término refpreseta la barrera centrífuga. Proveído de este potencial posee un punto clásico de vuelta, la siguiente WKB aproximación se obtiene del levantamiento de fase.

(2.41)

donde

(2.42)

Para una atracción fuerte, la variación de Weff con l se muestra en la figura 2.5. Parece mostrar que para valores grandes de E y l existe un punto de vuelta clásico, pero para pequeños valores existen tres puntos de vuelta en R=Ro, R1, y R2. La orbita singular clásuica ocurre cuando la energía E coincide con el máximo en el potencial efectivo donde la puntos de vuelta en Ro y R1 se juntan. (Fig. 5(b)).




Fig 5(a)  La variación del potencial efectivo Weff(R) definiido por (2.40) para valores diferentes del momento angular cuántico l, con l1>l2>l3>l4>l5.  (b) Esta es una ilustración a gran escala. Es una escala mayor a (a) y muestra la variación de Weff(R) con R para un valor dado de l= l', donde l' es suficientemente pequeño para Weff(R) para exibir un máximo y un mínimo. Para energías grandes tal como E = E3 existe un punto de vuelta clásico en R = Ro', pero para energías pequeñas tales como E = E1 existen tres puntos de vuelta en Ro, R1, y R2. Para la energía E = E2 la cual coincide con el máximo en Weff(R) los puntos de vuelta (quiebre) Ro y R1 se juntan.

La modificación a la fase semi-clásica de cambio para tres puntos de vuelta se discutirá posteriormente.

La condición para la expresión (2.41) parta ser una buena aproximaión para la fase de cambio exácta es que el potencial efectivo debería no variar apreciablemente sobre distancias comparables a la longitud de onda de de Broglie, excepto en la vecidad inmediata del punto de vuelta clásico. esta condición puede ser expresada como sigue:

(2.43)

En general, bajo condiciones semi-clásicas, los valores importantes de l son grandes, en este caso l puede ser relacionada al parámetro de impacto clásico b por la siguiente relación:


(2.44)




donde L es el momento angulare clásico.

Haciendo esta identificación y tratando a l como una variable continua parece ser que k(R) y f(R), definidas en (2.42) y (2.24), respectivamente, difieren sólo por una constante:

y también, de (2.26), (2.25) y (2.41)

(2.45)

Esto es conocido como la relación clásica de equivalencia.

El desarrollo de la aproximación semi-clásica procede de dos pasos nuevos:

1. Asumir en la expresión (2.39) para el esparcimiento de amplitud f(*) se puede reemplazar por una integración, de la siguiente manera:


(2.46)

2. Los polinomios de Legendre son reemplazados por el término principal de sus expansiones asintóticas:

(2.47a)

(2.47b)

donde Jo(x) es la función de Bessel de primer tipo de orden cero. Estas aproximaciones para Pl(cos *) pueden ser empleadas para toda l>1.

Usando las aproximaciones (2.47a y b) en (2.46), la integral sobre l puede ser evaluada por el método de fase estacionaria o una aproximación similar.


2.5 ESPARCIMIENTO HACIA FUERA DE LA REGIÓN DEL ANGULO PEQUEÑO (SMALL-ANGLE).

Debemos considerar primero el esparcimiento en ángulos cuya aproximación (2.47a) se mantenga, esto es, a ángulos no muy cerca de la dirección  horizontal (*=0) o (*=*).  Usando la relación para *=0

(2.48)

se muestra que el término [*] en (2.46) puede reemplazarse por exp(*).

Usando (2.47a), econtramos entonces:

(2.49a)


donde


(2.49b)

Para la mayoría de valores de l, la variación de * y * con l es más rápida y las partes reales e imaginarias  del integrando en (2.49a) oscila rapidamente en relación al cero.

Las mayores contribuciones a la integral entonces vienen de regiones en donde tanto * ó * es cero, y estan son reguiones de la fase estacionaria.

Usando la relación clásica de equivalencia (2.45) vemos que si * =0, para l =l'entonces:


(2.50)



Esta relación muestra que el punto de fase estacionaria, en l = l', para un ángulo dado de esparcimientro *, se determina por el parámetro de impacto clásico correspondiente al mismo ángulo de esparcimiento. La relación (2.45) y (2.50) son correctas en el caso que exista solamente un punto de vuelta clásico en el potencial efectivo EWeff(R), en tal caso |*| < . Si el orbitamiento ocurre para el cual |*| > *, una modificación debe llevarse a cabo, tal consideración debe tomar en cuenta lo que se muestra en a sección 2.7. Si *(b,E) se alcanza para una trayectoria repulsiva, *>0 y el punto de fase estacionaria está en *, cuando *(b,E) se levanta de una trayectoria atractiva, *<0, y el punto de fase estacionaria está en *.

POTENCIALES REPULSIVOS

Vamos a considerar primero un potencial repulsivo W(R)>0 , para el cual *(b,E) decrece monótonamente desde *=* a b=0 a b - *. Hay un punto de fase estacionaria para un ángulo dado de esparcimiento * en l = l', esto es en b=b', y expandiendo * con referencia a este punto encontramos

(2.51)

Desde

(2.52)

vemos que * es negativo y

(2.53)

Usando (2.53) y (49), se encuentra que:

(2.54)


donde, desde la única contribución importante a la integral viene de la reguión de l = l', el término de variación lenta (l + 1/2)^(1/2) se ha tomado fuera de la iontegral, y el límite inferior se ha extendido desde l=0 a l = -*.


Usando el resultado estándar


(2.55)


obtenemos:


(56)

donde

(57)

y donde I(*) es la sección de cruce diferencial clásica (30). Se sigue que para un potencial repulsivo puro la semi-clásica y clásica sección de cruce son identicas.  Este resultado no es correcto si sólo  unos cuantos cambios de fase de bajo orden contribuyen a la suma (39) y requiere que la región de fase estacionaria , de ancho *l =**, es grande en comparación con la unidad. Es claramente necesario que el potencial W(R) debe variar ligeramente con R en orden de que * debe también variar ligeramente (smoothly) con l.


REPULSIÓN INTERNA- ATRACCIÓN EXTERNA

Vamos a considerar la forma típica de las funciones de deflección para esparcimiento ión-átomo, en la ausencia de orbitación, mostrado en la Fig. 4, correspondiente al potencial W(R) con una región repulsiva interna y una región xterna atractiva.  Parece mostrar que el valor más negativo de * es igual a -*, donde * es el ángulo arcoiris y

si





Provee la región de fase estacionaria en b = bi están bien separados de la amplitud de esparcimiento  f(*) es la suima de las contribuciones de fi(*) para cada región, entonces:


(2.58)

La contribución de los tres puntos de la fase estacionaria, para *<*. puede ser evluada a lo largo de las mismas líneas para el potencial repulsivo. Se encuentra que

(2.59)

donde * es la sección de cruce diferencial para b = bi y

(60)

Para obtener (60) el hecho es que se uso que *  es negativa en l = l1 y l =l2 (esto es b = b1 y b =b2) pero positiva en l = l3 (b = b3)




Fig 6.  Forma típica de una sección de cruce diferencial, ampliada por sin *, para una fucnión de deflección de la forma mostrada en la Fig. 4. El primario y supernumerable arcoiris máximo son A, B, C, ... y el ángulo arcoiris en *=* se marca por una flecha. Las oscilaciones rápidas son debidas a la interferencia entre la amplitud para el esparcimiento arcoiris f(*) con la amplitud fo(*), *>* o f1(*), *<* (ver (21) y (63)).

La sección de cruce diferencial


(2.61)

muestra dos tipos de oscilaciones, como se ilustra en la Fig. 6.

Existen oscilaciones lentas en I(*) como una función de *, debidas a la interferencia entre f2(*) y f3(*), controlada por la diferencia de fase *0 constante , entonces la separación angular entre los máximos sucesivos es

(2.62)

La interferencia de f1 con f2 y f1 con f3, superimpone mucho más rápidas oscilaciones en este patrón de arcoiris supernumerable.

La vecindad del ángulo arcoiris *=* requiere un tratamiento especial, como los puntos de fase estacionaria en l2 y l3 se juntan y f2(*) y f3(*) no pueden ser tratados separadamente. Discutiremos esto en el siguiente párrafo. Como vimos la amplitud del esparcimiento arcoiris, fm(*), se extiende en la región  *>*, entonces debido a esto también hay solamente un punto de fase estacionaria en esa región, en l = lo correspondiente a la amplitud fo(*), la sección de cruce diferenial

(2.63)

también muestra oscilaciones de interferencia, tiñendo fuera conforme * se incrementa.



6 ESPARCIMIENTO ARCOIRIS

En e punto l = lm(b = bm), la función de deflexión clásica está en un mínimo y puede ser expresda de la siguiente manera:


(64)

Usando la relación de equivalencia (45) vemos que para l cercano a lm


(65)

de donde se encuentra que (con * = -*)

(66a)

donde

(66b)

Entonces de (49)

(67a)

con


(67b)

La integral en (67a) puede expresarse en términos de la función de Airy Ai(x), donde

(68)

Esta función decae exponencialmente para x>0 y oscila para x<0, con la forma asintótica

(69a)

(69b)

desde (67a) y (68)

(70)


Para *>*m, la interferencia entre fm(*)  y fo(*) produce oscilaciones, la amplitud del cual decrece exponencialmente con el incremento del ángulo (ver Fig. 6). Para *<*m la amplitud fm(*) oscila y reproduce el arcoiris supernumerario (supernumerary rainbow), el cual puede ser descrito alternativamente debido a la interacción entre f2(*) y f3(*). De hecho una aproximación sin provar para fm(*) debida a Berry(1966) reproduce exactamente el resultado fm(*) = f2(*) + f3(*), para valores de * menores que *m


7  ORBITACIÓN.