PHYSICAL REVIEW VOLUME 120,
NUMBER 6 DECEMBER 1960
Funciones
de Energía Potencial Ión- Átomo obtenidos de datos de esparcimiento de kev.
G.H. LANE AND
E. EVERHART
Physics Department,
University of Connecticut, Storrs, Connecticut
(Recibido en Agosto 15,
1960)
Las funciones de energía potencial entre los iones y átomos en
energías para colisión del orden de kilovolts son de interés debido a que esta
determina su esparcimiento. La fuerza de repulsión de Coulomb entre los núcleos
es modificada por un factor el cual es debido al zarandeo ó apantallamiento electrónico.
Varias funciones han sido propuestas para esta energía potencial, incluyendo un
zarandeo exponencial de la función de Coulomb y una función derivada por Firsov
de un modelo estadístico basado en el cálculo de Tomas-Fermi.
La función de energía
potencial puede ser determinada de los datos experimentales de varias maneras:
(1) Midiendo los
valores de la sección de cruce diferencial puede ser comparada directamente con
valores calculados de funciones de energía potencial asumidas como arbitrarias.
Entonces Flux et al. Comparan sus datos experimentales sección de cruce diferencial para las
colisiones ión-átomo de un gas noble con los cálculos de Everhart et al quien
asumió un zarandeo de la función exponencial de energía potencial de Coulomb.
La comparación fue buena, pero no exacta.
(2) El parámetro de impacto
puede ser determinado para ángulos seleccionados y para varias energías usando
métodos desarrollados por Amdur y Simona. Una ley de poder de la energía
potencial es asumida y el parámetro de impacto dependiente (correspondiente) es
calculado y ajustado a los datos. Mason
y Vanderslice han calculado funciones de energía potenciales sin probar para
usar con este método. El rango de energía de Amdur y Simona en su trabajo
experimental es de 4 ev a 2000 ev y entonces corresponde a separaciones
interatómicas grandes que el trabajo
para el cual se reporta a continuación.
(3) En el presente
artículo un nuevo método es usado, el cual es el método inverso para (1). Los
datos de esparcimiento son usados para determinar la función de energía
potencial única. El primer paso es el
usar los datos de la sección de cruce diferencial para encontrar la dependencia
angular del parámetro de impacto. El segundo paso es encontrar, de este, la
energía potencial como una función de la distancia de separación. Este
segundo paso es por mucho el más difícil. Fórmulas desarrolladas por Hoyt
requieren usar datos tomados de varias energías para determinar la función de
energía potencial deseada. Firsov
desarrolló muchos métodos sin probar los cuales determinan la función de
energía potencial únicamente de los datos tomados en una energía incidental.
El método de Firsov se aplica aquí por primera vez para datos experimentales.
Los experimentos de (1960)
de Flux et al., Jones et al., y Kaminker y Fedorenko han
acumulado datos absolutos en el esparcimiento diferencial de iones y átomos el
cual requiere este método. Energías potenciales para iones incidentes de Ar+ en
átomos de Ar y Ne, y He+ en Ar, Ne, y He son determinadas aquí para datos
tomados a 25, 50 y 100 kev (laboratorio) de energías incidentes.
2. TEORÍA
La sección de cruce
diferencial s(q) y el ángulo de
esparcimiento q, ambos en las coordenadas del centro de masa, son
obtenidos fácilmente transformando los valores experimentales s(Q) y Q, las cuales
están en el sistema de laboratorio. El parámetro de impacto p se relaciona a s(q) y q por:
2 ps(q)sinq dq = -2qppdp, (1)
y este es integrado par dar
(2)
De la teoría clásica de
esparcimiento, la cual es válida para el presente problema, el ángulo q se relaciona con el
parámetro de impacto p y la función de energía potencial de interacción V(r) dentro de la ecuación:
(3)
Donde E es la energía
cinética de incidencia en el sistema de centro de masa y ro es la
distancia de la máxima aproximación. El integrando es infinito en r = ro.
Esta integración no puede llevarse a cabo directamente debido al
desconocimiento de la cantidad V(r) que está en el integrando.
Los siguientes pasos,
dependen de la ecuación (10) expuesta más adelante, sigue a Firsov, y son
reproducidas brevemente aquí debido a que su papel no esta disponible en
translación. Sea
(4)
y la Ec. (3) deviene
(5)
Donde p2 es el
valor de y en r = ro. Dado que
(6)
es posible re arreglar la
ecuación (5) en la forma:
(7)
El símbolo y1 es usado aquí en
lugar de y para
distinguirlo de y el cual aparece en el límite de integración en la
siguiente ecuación. La ecuación (7) es multiplicada por
dp/(p2 - y)1/2 y la
integral sobre p desde * a *:
(8)
La integral en la parte
derecha es transformada y escrita como:
(9)
Cuando esta se resuelve para
r, el resultado de Firsov es:
(10)
Se obtiene. Conociendo r(y) y usando la Ec. (4) es
posible determinar V(r). Firsov revisó este método mostrando que lleva
analíticamente a la función de energía potencial de Coulomb cuando la bien conocida sección de cruce
diferencial de Rutherford se usa para s(q). Usando nuestro
procedimiento, que se muestra abajo, nosotros también probamos las ecuaciones
de Firsov insertando valores numéricos de la sección de cruce diferencial de la
referencia (4) mostrando que nos lleva
hacia atrás a la correspondiente función de energía potencial de apantallamiento
de Coulomb.
3. PROCEDIMIENTO
Como ejemplo del
procedimiento, vamos a considerar el caso de Ar+ en Ar a 25 kev. La Fig. 1(a)
muestra sección de cruce diferencial vs. el ángulo de esparcimiento en las
coordenadas de laboratorio tomadas de la Fig. 15 con referencia a (3) y la Fig.
7(d) con referencia a (10): Las líneas sólidas en la Fig. 1(b) muestran estos
mismos transferidos a las coordenadas del centro de masa y pesada o calculada
por el factor sen(q).
a.
Determinación del parámetro de impacto.
La integración numérica de
la curva en la Fig. 1(b) puede llevarse a cabo como se indica en la Ec.(2).
Esta integral tiene un límite superior a 180° como se indica en la línea
punteada. El área sombreada a la derecha de cualquier ángulo particular q1, igual a p2/2.
Una porción de esta área descansa sobre la línea punteada sobre la curva sólida
obtenida de los datos. Cuando q1
es
un ángulo pequeño, esta área indeterminada es muy pequeña como se observó en
las curvas X1 y X10, y la determinación de p es exactamente adecuada. Sin
embargo, cuando q1 es un ángulo moderadamente
largo, como en el caso mostrado, el área indeterminada puede devenir como una
importante fracción del total. Los efectos de dibujar la extrapolación punteada
en la Fig. 1(b) son considerados de varias maneras en el apéndice, Sec. 6(b),
mostrado más adelante.
El resultado de esta
integración se muestra como la línea sólida en la Fig. 2(a) la cual dibuja q
vs
p. A pesar de que este es un resultado indeterminado, es interesante compararlo
ahora con el cálculo de Firsov (línea punteada). Estos cálculos usan,
respectivamente, las funciones Vf(r)
y Vb(r) para ser descrita
en la sección 4, más adelante.
b.
Determinación de V(r)
La siguiente integración de
las curvas experimentales como las de la ecuación (10). Sin embargo, los
infinitos en los límites de integración
y en el integrando de esa ecuación requiere que su forma sea cambiada y
adaptada a la integración numérica.
Nuevas cantidades
dimensionales.
U = b/p
y s
= b / y (11)
Son introducidas, donde la
longitud b iguales a Z1 Z2e2/E. Donde Z1e y Z2e son
las cargas nucleares de los iones y átomos de colisión. Estas son incorporadas
a la ecuación (10) que ahora se convierte en:
*
Donde
(12)
Los infinitos en el
integrando de I(s) en la Ec. (12) son permitidos para rescribirlos en la forma,
(13)
Llevando a cabo un ejemplo,
de una colisión de 25-kev de Ar+ sobre Ar, el siguiente paso es graficar q vs u como se
observa en la línea sólida de la Fig. 2(b). Esto se hace de manera sencilla
para la curva e la Fig. 2(a), debido a que u es dimensionalmente recíproca para
p. Es necesario extender esta línea arbitrariamente de u=0 como se indica en la
línea punteada en la Fig. 2(b). Esta abertura ó ausencia corresponde a la
ausencia de datos experimentales para la
sección de cruce diferencial entre 0° y 1° (lab). Esto se discutirá en el
apéndice, Sec. 6(b), y esto nos
conducirá a que las curvas del final rV(r) para ser obtenidas no son muy
sensitivas de manera particular como en esta línea punteada se dibuja. Un valor
particular de u, tal como s, se escoge y la línea recta q(s)(u/s) se
dibuja como se muestra en la línea de guiones de la Fig. 2(b). La diferencia
entre esta línea y la curva es el numerador del integrando de I1(s).
El integrando total de I1(s)
(para un valor particular escogido de s) se muestra en la Fig. 2(c).
Cerca de u=0 la cantidad q(u) se aproxima a cero y es
mucho menor que q(s)(u/s) que
también se aproxima a cero. El integrando I1(s) en la Ec. (13) se
iguala a q(s)/s en u=0. En el límite superior el integrando es
cero. Una curva similar a la de la Fig. 2(c) es integrada numéricamente para cada uno de los varios valores de
s. Los valores resultantes de I1(s)
son substituidos en las ecuaciones (13) y (12) para encontrar r/b para cada
valor de s.
Valores correspondientes de
r/b y s se sustituyen entonces en:
V(r) = E[1-(1/s)2(b/r)2],
(14)
la cual se obtiene por
combinación de las ecuaciones (4) y (11). El resultado de V es obtenido como una
función de r.
Fig. 3 La energía potencial V(r) es dibujada como
una función de la separación entre el Ar+ y el Ar. Las tres líneas sólidas son
calculadas de los datos experimentales tomados a 100, 50, y 25 keV como
energías cinéticas de incidencia. La línea punteada es una función de energía
potencial derivada por Firsov basada en el modelo estadístico de Thomas-Fermio,
y la línea de guiones es una función de energía potencial de apantallamiento
exponencial de Coulomb.
4. RESULTADOS
Analizando los datos de Flux
et al. Y Jones et al., como se describió arriba lleva a que las curvas de
energía potencial mostradas en la Fig. 3 para el caso de Ar+ sobre Ar . Las
tres líneas sólidas, de la izquierda a
la derecha corresponden, respectivamente, de datos tomados respectivamente a
100, 50, y 25 kev (lab). La línea punteada corresponde a la función Vf(r)
obtenida por Firsov. El encontró que con una precisión del 10%, la interacción
de energía potencial para las colisiones de ión-átomo calculadas en las bases
de un modelo estadístico para electrones puede ser representado por:
Vf(r) = (Z1Z2e2/r) c(x) (15)
donde c(x) es la función de
apantallamiento en el potencial de Thomas-Fermi, con
x = [ Z11/2
+ Z21/2]2/3(r/a1) y a1
= 4.7 X 10-9 cm. La línea de guiones en la Fig. 3 es la función
potencial de apantallamiento de Coulomb, Vb(r), dada por:
(16)
Donde a = ao/[ Z12/3 + Z22/3]1/2
como se sugirió por Bohr, y a0
= 5.3 X 10-9 cm. Ambas funciones
Vf(r) y Vb(r) colocan el Ar+ sobre Ar las curvas de datos muy bien, pero
en esta representación de todas las curvas are so sep lo cual dificultan los
análisis de las diferencias.
El factor principal en ambas
funciones de energía potencial es el
mismo termino de Coulomb 1/r, pero cada uno tiene un factor diferente
representando el apantallamiento del electrón.
Entonces si uno grafica rV(R) vs r hay una ventaja dual: Primero rV(r)
es proporcional al factor de apantallamiento, lo cual es de interés primario, y
de manera secundaria, las curvas tienen baja precipitación, y pueden ser
graficadas en una mejor escala vertical.
La Figura 4 muestra las
gráficas de rV(r) vs r obtenida de los datos de las colisiones de Ar+ en Ar,
Ne+ en Ar, y Ne+ en Ne. La Figura 5 muestra gráficas similares para He+ en Ar,
He+ en Ne, y He+ en He. Note que las escalas horizontales son diferentes en los
diferentes casos. En cada figura hay una línea sólida separada para los datos
tomados en cada energía.
Para algunas combinaciones
ión-átomo las tres curvas sólidas coinciden relativamente bien con cada una de
ellas, y para otras combinaciones existen discontinuidades. Dos posibles
razones teóricas para las discontinuidades en las curvas son las siguientes:
(1) La energía
potencial puede ser dependiente de la velocidad para alguna extensión. En este
rango de energía la velocidad del ión incidente es comparable a la velocidad de
los electrones salientes para cada átomo. Los electrones tienen más tiempo para
ajustarse ellos mismos cuasi-adiabáticamente
en las colisiones de 25-kev de lo que ellos lo hacen, por ejemplo, en
las colisiones de 50 kev. La energía potencial puede ser diferente en estos dos
casos a la misma distancia interatómica.
(2) La teoría clásica
usada aquí al obtener V(r) de s (q) asume las
colisiones elásticas, y es válida en la extensión de que la energía inelástica
transferida en el proceso de colisión es muy pequeña en comparación de la
energía cinética incidente. Tales
efectos inelásticos podrían causar discontinuidades entre las curvas tomadas a
diferentes energías.
De cualquier
manera, es probable que el error experimental en los datos originales es
suficiente en sí mismo para causar discontinuidades que enmascaran ambas las
consideraciones anteriores. Los efectos de los errores experimentales
sistemáticos y también los efectos de extrapolación en los procedimientos de
cálculo usados aquí se discutirá detenidamente en el apéndice.
Si no existiera el apantallamiento de
electrones rV(r) sería igual a Z1 Z2e2
como se requiere por la ley de Coulomb. Los datos seguirán entonces una línea
horizontal en este nivel, la cual se indica en la pequeña flecha en la ordenada
para cada combinación. Entonces, para cada separación r, el valor medido del
factor de apantallamiento del electrón
se encuentra tomando la división, o la razón entre el valor
correspondiente de rV(r) entre Z1Z2e2.
Para cada caso en
las figuras 4 y 5 el factor de apantallamiento x de la ecuación (15) se muestra
punteada y el factor de apantallamiento exp(-r/a) de la Ecuación (16) se
muestra como la línea recta cortada. Estos factores son determinados por el
factor Z1Z2e2
para cada combinación en orden de comparar estos con los datos.
El factor de
apantallamiento x tiene la misma curvatura general como el de las curvas de las
figuras 4(a) y 4(b) y generalmente coloca los datos de mejor manera que el
factor de apantallamiento exponencial.
De cualquier
manera, las funciones de energía potencial de las ecuaciones (15) y (16) son ambas consideradas para chocar los datos
de manera suficientemente apta entonces ambas pueden ser usadas para calcular
las fuerzas entre los iones y átomos en el rango de energía estudiado aquí.
APÉNDICE
Aquí los efectos
de los errores experimentales y los
efectos de varios procedimientos de extrapolación de la sección 3 se
consideran.
a.
Errores Experimentales
En referencia a los
experimentos de Fuls et al y Jones et al muestra que existen dos
importantes tipos de errores. El primero de estos es el error de "factor
de escala" al determinar las secciones de cruce diferencial absoluta.
Tales errores al medir el blanco de presión de gas, energía incidente del rayo
de iones, detector de sensitividad, y las dimensiones del ángulo sólido afectará todos los puntos de datos tomados
durante una corrida de datos por el mismo factor. La importancia de este factor
de escala puede ser visto en el siguiente ejemplo particular: Un incremento
arbitrario del 14% en los datos de la sección de cruce diferencial para Ne+ en
Ne tomados a 25 kev fue encontrado ser suficiente para alcanzar la curva
correspondiente rV(r) en la Figura 4(c) hasta que estuvo en línea con la curva
de 50 kev. A tal escala del factor de error esta bien con el posible error
experimental. El hecho de que todas las curvas parezcan aproximarse a Z1Z2e2
cuando r se aproxima a cero muestra que no hay un error grande en esta
clase.
Una segunda dificultad
experimental es que una partícula dispersada es extremadamente pequeña y
difícil de medir a grandes ángulos especialmente en las ligeras combinaciones
ion-átomo. Existe mucha dispersión en los datos y esto podría explicar las
diversas inclinaciones y discontinuidades de todas las combinaciones de la
Figura 5.
b.
ERRORES DE EXTRAPOLACIÓN
En la Sección 3(a) de
arriba, una extrapolación fue necesaria debido a la falta de una sección eficaz más allá del
mayor ángulo de medición. Junto a la razonable extrapolación usada para
extender la curva de la Fig. 1(b), dos extremos y poco razonables
extrapolaciones fueron investigadas.
(1) Se asumió que la
sección eficaz no decreció bajo la última medición y fue constante fuera de
180. Debido a que s(q) es una función
decreciente de ángulo, esta sobreestimación es
valiosa. Cuando se asume estas consideraciones la parte izquierda final
de las curvas de rV(r) para voltear como se muestra para el caso Ar+ en Ar a
25-kev en la curva etiquetada como A en la Fig. 4(a).
(2) La segunda
conjetura es que s(q) decae exponencialmente con
el ángulo como se muestra por la línea recta etiquetada como B en la Fig. 1(a)
juntándose suavemente a los datos. Debido a que los datos medidos tiene una
curvatura en esta gráfica semi-logarítmica
al asumir esto es algo así como una desestimación de s(q) y los efectos
son muy suaves bajo el final izquierdo de las curvas de rV(r). Esto se muestra
para los casos de 25-kev Ar+ en Ar para
las curvas etiquetadas como B en la Fig. 4(a).
La otra extrapolación, hace
necesario una discusión en la sección 3(b) para la falta de datos entre 0
grados y 1 grado, fue investigado de manera similar, tomando suposiciones
similares y determinando sus efectos en el final de las curvas de rV(r). Estos
hechos tienen solo efectos muy pequeños en los finales derechos de estas
curvas.
COLISIONES
DE ELECTRONES CON ÁTOMOS -UNA
DESCRIPCIÓN TEÓRICA- TEORÍA GENERAL Y SEMI-EMPÍRICA
DEL ESPARCIMINETO ELÁSTICO.
En los capítulos anteriores
hemos descrito la información acerca de las varias secciones de cruce efectiva
para colisiones de electrones con átomos de los cuales han sido obtenidos por
una variedad de métodos experimentales.
Esta información es por necesidad incompleta y han tenido que ser
suplida por métodos teóricos. Para hacer esto tenemos primero que establecer
una teoría la cual da una descripción satisfactoria de las observaciones. Si,
de cualquier manera, no hemos logrado desarrollar métodos teóricos de cálculos
que provean valores de sección de cruce de acuerdo con todos los datos
experimentales, es importante establecer bajo que condiciones tal teoría
parcial es válida. Habiendo hecho esto, será conocido cundo la teoría puede
usada para predecir los valores de la sección de cruce tal que, pueda tener
dificultades para ser observados, son importantes en muchas aplicaciones de los
datos de colisión. Por ejemplo, la sección de cruce para excitación de un
átomo, tal como el oxigeno, por el impacto de electrones puede ser requerido.
Esto es de gran dificultad para obtenerse mediciones experimentalmente debido
al carácter molecular del gas de oxigeno.
En general vamos a encontrar
que la teoría de colisiones elásticas
está muy bien establecida. Este es también el caso para colisiones inelásticas
cuando la fracción de energía perdida es pequeña. La teoría hasta ahora no es
satisfactoria para impactos en donde la fracción de energía perdida es grande.
1.
SUBDIVISIÓN DEL PROBLEMA TEÓRICO
Incluso, nosotros
consideramos los núcleos como un centro de fuerza fijo, la colisión de un
electrón con un átomo simple es
esencialmente un problema de tres cuerpos. Una solución exacta es imposible y
debemos recurrir a aproximaciones que no son siempre sistemáticas y entre las
que debemos hacer algunas veces disertaciones complicadas.
Vamos a proceder primero por
discutir una aproximación semi-empírica a los cálculos de las variadas
características del esparcimiento elástico
de electrones lentos por átomos. Esto consiste en ignorar la estructura interna
del átomo y tratarlo como el centro de fuerza esto es una función solo
dependiente de la distancia del núcleo. Cuando la representación empírica del
campo de esparcimiento efectivo es basada en el campo que será ejercido por el
átomo si es imperturbado por el electrón, el también llamado campo estático,
salida para este campo son introducidos para obtener la mejor aproximación con
observación. Estas salidas son justificadas por la necesidad para permitir para
tales efectos como el disturbio del
átomo por el electrón y por la posibilidad del cambio de electrón que ocurre
durante el impacto.
Un análisis de este tipo de
este género es muy similar al modelo óptico de aproximación que ha sido
empleado en gran detalle para el análisis para el esparcimiento de neutrones
por el núcleo. La mayor diferencia es que en el análisis anterior el potencial
de esparcimiento empírico incluye una componente imaginaria que permite la
posibilidad de colisiones inelásticas para la formación de una colisión
compleja de duración de vida apreciable durante el impacto. La presencia de un
potencial imaginario en una ecuación de Scrödinger para una partícula significa
que esa absorción está tomando lugar. Cuando se representa un problema de
esparcimiento de muchos-cuerpos por un problema de un cuerpo efectivo, la
perdida de partículas de energía inicial, también dentro de colisiones
inelásticas o dentro de captura temporal en un complejo, correspondiente a la
absorción y se representa empíricamente por una componente imaginaria de
un potencial esparcimiento
efectivo. No se permite para cualquier
componente se han hecho en el análisis semi-empírico del esparcimiento de
electrones por átomos. El hecho de que una buena descripción del fenómeno
observado ha sido sin embargo obtenido lo cual indica la debilidad relativa
de la interacción atómica distinto de un fenómeno nuclear. Esto se discutirá
más detalladamente en el capitulo 9.
Después de discutir el
análisis semi-empírico del esparcimiento elástico, empezamos en los capítulos
7-9 el desarrollo de la teoría analítica que permite tomar en cuenta los
detalles estructurales y calcular las varias secciones de cruce directamente de
las leyes de la mecánica cuántica y de la interacción de Coulomb entre
electrones.
El primer paso en esta
dirección es el lidiar con altas energías de impacto, en las cuales la
interacción con el átomo introduce sólo un pequeño cambio en la energía total
del electrón. Bajo estas circunstancias una teoría de perturbación sistemática,
las ahora famosas series de
aproximaciones de Born, puede ser desarrollada. La primera aproximación en
estas series, usualmente llamada simplemente la aproximación de Born, ha
recibido una aplicación variada no solamente en las colisiones de electrones
con átomos sino en todos los fenómenos de colisión atómicas. Si la primera
aproximación no es válida es usualmente no
proceder a evaluar las aproximaciones superiores y se recurre a un
procedimiento sistemático basado en la física de la situación.
Discutiremos en el capítulo 7, la aplicación
detallada de la aproximación de Born para colisiones elásticas y entonces
inelásticas colisiones, y su rango de validación. Es posible incluir el efecto
de cambios de electrones para estos impactos de "alta"-energía.
Cuando normalmente se desprecia cuando la primera aproximación de Born es
válida, existen algunos procesos que podrían no ocurrir excepto para los
cambios de electrones y para estos la extensión de la aproximación de Born para
permitir el intercambio (la también llamado aproximación de Born-Oppenheimer )
es útil.
Es mejor concentrar la atención primero en la
teoría de colisiones de electrones con el átomo simple, hidrógeno. Para este
caso comparativamente simple, el esparcimiento de electrones puede tratarse
usando nuevos métodos variacionales. Las aplicaciones de estos métodos para
átomos más complejos es mucho más difícil y pronto se convierte en
indispensable el desarrollar métodos menos laboriosos que dependan de aislar
los efectos mayores. Esto puede hacerse para el hidrógeno y se encuentra que
tres mayores efectos dominan las principales características del esparcimiento
elástico. Estas son el campo estático, el cambio de electrones, y la polarización
del dipolo del átomo por el electrón. Se encuentra también que este es el caso
para el esparcimiento elástico por el simple ión positivo, esto es el helio
(He+) el cual puede tratarse con la misma precisión que el hidrógeno.
La extensión al esparcimiento
elástico por átomos complejos se lleva acabo posteriormente asumiendo que los
mismos tres factores son dominantes como lo fueron con el hidrógeno y el helio.
Esto prueba ser remarcablemente importante en la aplicación de tales átomos
como el neón y el argón pero menos sobre otros.
Otros métodos de
aproximación, también llamados los métodos parejas juntas en los cuales se permitividad se hace amplia
para el efecto de un numero limitado de estados excitados, se discutirá. Estos
métodos son de especial interes en conección con la interpretación del fenómeno
de resonancia en las colisiones de electrones en átomos, pero antes de discutir
estos fenómenos explícitamente todo el problema de calcular las principales
características de las secciones eficaces inelásticas para impactos de electrones lentos se
consideran. En el presente no hay manera de lidiar con esto excepto para el
metodo de parejas juntas de algún tipo lo cual ha sido de utilidad para tratar
estos problemas.
El problema para calcular la
ionización de la sección eficaz en bajas energías encontradas tiene
características especiales que se considerarán posteriormente.
Finalmente, en el Capítulo 9
discutiremos el fenómeno de estructura-fina en todos los aspectos, concluyendo
con un análisis de el comportamiento esperado de secciones eficaces juntas a la
entrada para la mayoría de los procesos concernientes.
2.
ESPARCIMIENTO ELÁSTICO -SEMI EMPÍRICA "MODELO
ÓPTICO" APROXIMACIÓN.
Ahora seguiremos con la
descripción del esparcimiento elástico de electrones lentos por átomos en
términos del esparcimiento de una partícula por un centro de fuerza
estructural. La elección del campo del centro de fuerza se basa en el campo
estático de un átomo pero se entiende que las modificaciones pueden introducir
en este campo para probar la teoría con las mediciones. Tales modificaciones
son esperadas debido a que un átomo no es solamente un centro estructural y es
en si mismo deformado en el encuentro. Aparte de permitir para esto las
modificaciones también permitidas empíricamente para el intercambio de
electrones.
2.1EL CAMPO ESTÁTICO DE LOS
ÁTOMOS
La energía potencial V(r) de
un electrón en el campo de un átomo sin disturbios, el campo estático, cuando a
distancia r del núcleo esta dada por
(1) 
Donde r(r) es la densidad
de los electrones atómicos a r y la carga nuclear es Ze.
La función r(r) puede ser
calculada con precisión para el hidrógeno para obtener
Donde a0 (= h2/me2)
es el radio de la primera órbita de Bohr. Para otros átomos r(r) puede ser
obtenida sólo aproximadamente, usualmente por el uso de Hartree
auto-consistente método de campo o el más refinado método Hartree-Fock en el
cual los efectos de cmabio de electrones con el átomo se incluye.
2.2EL HARTREE Y EL CAMPO DE
HARTREE-FOCK DE UN ÁTOMO
Las aproximaciones de Hartree y el Hartree-Fock son asociadas con la clasificación de estados
atómicos en términos de configuraciones. Asicamente hay que asumir es que el
movimiento individual de electrones en un campo efectivo central, el cual es la
parte del núcleo apantallada por la presencia de otros electrones. Los estados
permitidos para un electrton es tal que el campo puede ser distinguido por los
números cuanticos usuales n,l o por 1s, 2p, etc. La totalidad de los electrones
atómicos pueden entonces ser asignados a estos estados de un-cuerpo o orbitales
de cualquier manera consistentes con el principio de Pauli. Cualquier
asignación tal define una configuración con una energía total igual a la suma
de las energías de los orbitales individuales. La configuración de piso o base
será aquella con la energía menor total en estas bases. Entonces para el neon
será
(1s)2(2s)2(2p)6,
en donde 2 electrones ocupan
el orbital 1s, 2 el 2s, y 6 el 2p.
El siguiente paso permite el intercambio de electrones y la combinación del momento angular,
incluyendo el spin del electrón. A pesar
de que este es solamente el momento angular
(número cuántico J) de todos los electrones, incluyendo el spin, este se
conserva estrictamente, la interacción débil entre el spin y el movimiento
orbital significa que, para todos los átomos pesados, el momento angular total
y el spin (números cuánticos L, S,
respectivamente) son efectivamente ambos constantes. De una configuración dada
el número de términos alacnzados los distinguiremos por los valores de L y S.
Si el cambio de electrones es ignorado estos términos tendrán la misma energía
y en otro caso se dividiran. En general, de cualquier manera, la partición
entre los términos es considerablemente baja ue las que exsitene entre las
configuraciones sucesivas.
El procedimiento posterior,
se deben permitir las interacciones
entre las configuraciones, para una estructura-fina dividida debido a la interacción entre el
spin del electrón y el movimiento orbital. Y para la estructura hiperfina la
división se debe a la interacción entre el spin nuclear y el movimiento
electronico.
La aproximación de Hartree
desprecia el intercambio y representa la función de onda para una configuración
dada como un simple producto de funciones de onda para cada orbital. Entonces
las funciones de onda para el orbital 2p tendrá la forma
r-1
P21(r)Y1(q,f), (3)
donde Y1 es un armónico
esférico de primer orden. Esta notación es la generalmente se usa, la función
radial P21(r) será tal que:
(4)
Cuando esta aproximación de
producto es usada como una función trial en un calculo variacional de Ritz se
encuentra que la función Pnl(r) satisface una ecuación de onda
radial de la forma:
(5)
donde Vnl es de
la forma (1) con
(6)
an’l’ es igual al
número de electrones, otra que concernirá, ocupa los orbitales n’l’.
Esto significa que cada
electrón es considerado para moverse en el campo combinado del núcleo y que
para cada uno de los demás electrones atómicos, calculado al tomar el promedio
de las densidades de probabilidad sobre todfas las orientaciones. La energía
total de la configuración es entonces dada para esta aproximación por:
(7)
En la aproximación de Hartree-Fock se permite el
intercambio de electrones reemplazando el producto trial de funciones simple
por una combinación lineal de funciones tales que los electrones se permutan a
lo largo de los orbitales. Los coeficientes en la combionación lineal son
entonces diferentes para cada término en orden de ser consistente con el
principio de Pauli. El efecto es no solamente hacer las funciones
individuales Pnl(r)
dependiente del término de asignación pero también para introducir una
iteración no-local en la ecuación radial (5) entonces toma la forma de:
(8)
El kernel de interacción
no-local Knl depende de los orbítales de los electrones restantes
y en la asignación de término. Con esta aproximación la energía total del átomo
esta dada simplemente por:
Es conveniente expresar el potencial
V(r) como determinado por estas
aproximaciones en la forma
V(r) = -Zpe2/r
Donde Zp, la
carga efectiva nuclear para el potencial, es una función de r. En general Zp
decae exponencialmente para r grandes entonces, de acuerdo con la teoría
cuántica, la sección eficaz de dispersión debida al campo estático del átomo
será infinito.
2.3EL MODELO ESTADÍSTICO
Para átomos pesados el
modelo estadístico de Thomas-Fermi será usado. Esto da
V(r) = -Z e2
f(r/m) /r ,
Donde m = 0.885Z-1/3 a0.
Tablas de la función f están disponibles.
3.
TEORÍA CUÁNTICA DEL ESPARCIMIENTO DEBIDO A UNA
FUERZA CENTRAL
3.1SECCIÓN EFICAZ TOTAL
Vamos a considerar una partícula de masa m y
velocidad v, la cual es proyectada hacia un centro de fuerza en una dirección
tal que, si no se desvía, podría pasar el centro a una distancia p. Esta
cantidad es llamada el parámetreo de impacto. De acuerdo con la teoría clásica la partícula
será ciertamente desviada a menos que la furza debida al centro desaparezca en
todas partes del camino. En el tratamiento teórico-quántico del problema es
natural asignar una probabilidad a(p) a una
partícula con parámetro de impacto entre p y p+dp sufrirá una desviación
observable. El área efectiva de colisión será entonces
Q0 = (9)
Para considerar otras modificaciones
cuánticas es conveniente rescribir estro en términos del momento angular. El
momento angular J de una partícula en relación con el centro de fuerza es igual
a mvp, entonces:
(10)
donde es ahora la
posibilidad de que una partícula con momento angular entre J y J+dJ podría
sufrir una desviación observable. Ahora, debemos tomar en cuenta el hecho de
que, de acuerdo con la teoría cuántica, el momento angular en relación con el
centro de fuerza es cuantizado, entonces:
(11)
Entonces, para l grandes, (12)
Esto convierte la integral
en (10) para la suma
(13)
donde k = 2p
/ l , donde
l es
la longitud de onda de la partícula incidente , y
g(l) = b[{l(l+1)}1/2
h ].
Ahora debemos considerar la
probabilidad g(l). Es
fácil ver como, en la teoría de ondas, g(l) puede actualmente ser cero en
circunstancias en donde, en la teoría clásica , sería unitaria. Por
simplicidad, consideramos el esparcimiento por un potencial el cual tiene la
forma
D
(r < a),
V(r) = (14)
0
(r > a),
 |
donde D es una constante.
Debemos primero discutir colisiones frontales parta las cuales l =0 y para las cuales no hay duda de
que g(0) = 1 en
la teoría clásica.
De acuerdo con la teoría
cuántica de movimiento de partículas, haciendo colisiones frontales, será
representada por un tren de ondas con
longitud de onda l = h/mv
fuera del obstáculo (r > a) y l = h/(m2 v2 – 2Dm)½ dentro. Los dos trenes de diferente longitud de
onda deben juntarse suavemente en el contorno ( ó límite) r = a. En orden de
obtener esto, y al mismo tiempo mantener la amplitud finita en el centro r=0,
un cambio de fase debe introducirse en el tren, para r > a, relativo a este
tal que podría existir en la ausencia del obstáculo. Este cambio de fase, debido
al obstáculo, podría observarse al infinito y
el solo indica la presencia del
obstacuklo. De cualquier manera, debemos recordar ahora que es imposibkle, en principio, para contar las
ondas entre los obstáculos y el observador entonces un cambio de fase que es
una integral múltiplo de 2p no será observable. En
estas circunstancias el obstáculo no produce efectos observables sobre las
partículas con momento angular cero, entonces g(0) = 0. Esto será entonces cuando el
obstáculo introduce o elimina un número entero de longitudes de onda.
Sobre estos fundamentos parece anticipado que g(0) será una función periódica del cambio
de fase h0 producida por el
potencial de esparcimiento en las ondas de de Broglie, lo cual representa la
corriente de partículas con momento angular cero. Este debe también desaparecer
con el cambio de fase y nunca ser negativa. La función más simple que satisface
todas las condiciones es A sen2
h0. De manera
similar tomamos g(l) = A sen2
hl donde hl es el cambio de fase producido en las ondas
de momento angular {l(l+1)}1/2 h .
Ahora hemos alcanzado la expresión:
Para obtener A consideramos
el caso de esparcimiento por un obstáculo rígido de radio a el cual es tal que
ka >>1. Bajo estas condiciones, las cuales podrían ser ciertamente
clásicas, podríamos esperar que Q0 = pa2.
Siguiendo la relación (12) entre l y p debemos también esperar que hl ≈ 0
para l > l0, donde
l0
h = mvp,
o
l0 = ka
Debido a que l0 es grande
(15)
Como esperamos hl es grande para l < ka podemos
remplazar A sen2hl en (15) por su valor medio de ½ para dar
Q0 = ½ Apa2.
Esto sugiere que deberíamos
tomar A igual a 2 entonces Q0 concuerda con el valor clásico de pa2. De
hecho, hemos hecho que no se permitan la difracción fantasma, lo cual recuerda
importantes bajadas para desvanecerse las longitudes de onda y duplica el valor
de A cuando la longitud de onda decrece la difracción fantasma se confina a ángulos pequeños a lo largo de la dirección delantera pero
efecto integrador permanece igual a pa2. Debemos
discutir esto más detalladamente en el capítulo 16.
Mientras tanto, tenemos,
tomando A = 4, llevando a la fórmula:
(16)
el cual es de hecho correcto
(la prueba en la sec. 3.3).
Sin Embargo el concepto de
cambio de fase, como la determinación de
la probabilidad de la desviación, a sido introducido en conexión con la función
de potencial con un contorno puntiagudo no hay dificultad en aplicar esto al
campo, tal es que el campo estático de un átomo, el cual decae gradualmente a
cero en infinito, tiende a cero en infinito.
3.2DISTRIBUCIÓN ANGULAR DE EL
ESPARCIMIENTO ELÁSTICO DE ELECTRONES -SECCIÓN EFICAZ DIFERENCIAL.
En el aspecto clásico de una
colisión, una partícula con un momento angular definido en relación al centro
de esparcimiento sufrirá una desviación definida, pero en la teoría cuántica,
como lo esperaremos, este no es el caso. Asociado con cada momento angular
cuantizado existe una función de amplitud que da la distribución en angulo de
la amplitud de esparcimiento asociada (no la intensidad de esparcimiento). La
amplitud toital de esparcimiento se obtiene al agregar las contribuciones de
los momentos angulares separados, cada uno de los cuales contribuye a todos los
ángulos. Un factor de peso, relacionado con la probabilidad de que ocurra
cualquier desviación, debe ser incluida en cada contribución.
Entonces la contribución a la amplitud de
esparcimiento entre los ángulos q y
q+dq para el momento
angular {l(l+1)}1/2
h es de la forma
g(hl)Fl(q),
donde Fl(q) es la función
de momento angular asociada con el momento angular particular y el factor de
peso g(hl) es una medida
de la posibilidad de que cualquier desviación pueda ocurrir. Esta desaparecerá cuando hl ® 0 o un múltiplo integral de p, y puede
esperarse tener una influencia máxima cuando hl
tiende a un múltiplo integral impar de p/2.
La amplitud del
esparcimiento total será entonces
å g(hl)Fl(q) (17)
Y la intensidad de
esparcimiento será:
½å g(hl)Fl(q)½2,
Permitiendo para la
posibilidad tal que g(hl) puede ser
complejo, como de
hecho es.
Figura 6.1 Harmónicos
zonales Pl(cos q) para l = 0,1,2,3.
Debido a que la amplitud de
esparcimiento se obtiene sumando las contribuciones de los diferentes momentos
angulares, se debe de esperar los efectos de interferencia, llevando a los
máximos y mínimos en la distribución angular lo cual se alcanzará en
ciertas circunstancias.
Las funciones Fl(q) son los
harmónicos zonales Pl(cos q), sus formas se
ilustran en la Fig. 6.1 para l = 0,1,2,3. Será notificado que, para q
= 0,
todos son iguales a 1, en q = p ellos son iguales a (-1)l.
El número de ceros que la función posee en el rango de 0 a p es igual al orden
de l.
El factor de peso g(hl) puede ser calculado por los métodos de
teoría de difracción y se encuentra que está dada por:
g(hl)=(2l+1){exp(2i
hl)-1}/2ik.
Esto da para la sección
eficaz diferencial
I0(q)senq
dq df =(1/4k2)
½å(2l+1){exp(2i hl -1)}Pl(cosq)½2 senq
dq df
(18a)
Como
Se puede verificar que
La transferencia de momento
de la sección eficaz Qd está dada por
(18b)
3.3PRUEBA DE LA FORMULA
CUÁNTICA
La ecuación de Schrödinger
para el movimiento del electrón es
Ñ2F + {k2 -U(r)}F = 0, (19)
donde k2= 2mE/h2, U(r)= 2mV(r)/h2.
Requerimos una solución que
tenga la forma asintótica de una onda plana más una onda esférica saliente
entonces
F » N{eikr cosq
+ f(q) r-1eikr}, (20)
Donde los ejes de las
coordenadas polares han sido tomadas a lo largo de la dirección de incidencia y
N es una constante.
Usando la formula para el
flujo correspondiente a una función de onda y,
(ih/4pm)( y grad - y *grad
y), (21)
vemos que (20) corresponde
al flujo incidente v½N½2, donde v, la
velocidad de los electrones, está dada por kh/m. La densidad de flujo radial
correspondiente a la salida de ondas esféricas es dada de manera similar por
v½N½2½f(q)½2 /r2.
El número de electrones de
esparcimiento incidentes por segundo en una pequeña sección de área dS normal al vector r está dada por
v½N½2½f(q)½2 dS/r2 = v½N½2½f(q)½2 dw,
donde dw es un elemento
del ángulo sólido. EL número total de esparcimientos por segundo es entonces
dada por
v½N½2 ò½f(q)½2 dw.
(22)
Pero si Q es la sección
eficaz efectiva este número está dado por el flujo incidente el cual incide en
dirección normal al area Q. Aquí
v½N½2 Q= v½N½2 ò½f(q)½2 dw,
entonces
Q = ò½f(q)½2 dw.
(23)
además I(q)=½f(q)½2 .
(24)
Para obtener f(q) usamos el hecho
de que, debido a que F debe ser una función propia que dependa de r y q solamente, puede
ser expandida en series de polinomios de Legendre
F = r-1åGl(r)
Pl(cosq). (25)
Por substitución en (19) y usando
el hecho de que el operador Ñ2 puede ser
escrito
-
(22)
.SOVIET PHYSICS JETP
VOLUME
34(7), NUMBER 2 AUGUST
1958
ESPARCIMIENTO
DE IONES POR ÁTOMOS
O.B.
FIRSOV
Academia de ciencias U.S.S.R.
Enviado al editor de JETP en
Agosto 2, 1957
La dependencia del parámetro
de impacto en la energía de movimiento relativa y el ángulo de esparcimiento, y
el transporte de la sección de cruce para colisiones atómicas son calculadas
usando el potencial interatómico previamente encontrado por el autor de la
teoría estadística del átomo desarrollada por Thomas-Fermi.
INTRODUCCIÓN
Si tratamos el esparcimiento
de iones por átomos como elásticos, y nos limitamos al esparcimiento para ángulos a > 10-2 (en el sistema de centro
e masa), encontramos que, para energías de movimiento relativo E > 100
ev/M (donde M es la masa reducida en
unidades de la masa del átomo de hidrógeno), el esparcimiento es determinado
por las leyes de la mecánica clásica. Para energías muy grandes, cuando la
velocidad relativa de los átomos incidentes supera Z1Z2e2, la mecánica clásica no es
aplicable, pero el esparcimiento es prácticamente determinado por la
interacción de Coulomb, para los cuales los resultados de la mecánica cuántica
y clásica coinciden.
Podemos entonces asumir que
el esparcimiento calculado por los métodos de la mecánica clásica nos da el
resultado correcto para energías de colisión mayores que 100 ev/m. La energía
es limitada solo por las velocidades relativistas.
Actualmente, para energías
que exceden 1kev, en adición al esparcimiento elástico habrá esparcimiento
acompañado por excitación, ionización simple o múltiple, y cambio de carga de
los átomos incidentes. Como resultado de
esto hay cierta incertidumbre en la energía cinética y el potencial de interacción
de los átomos incidentes, lo cual resultará en adicional mancha del paquete de ondas el cual no es
tomado en cuenta derivado la condición para aplicación de la mecánica clásica
para esparcimiento elástico.
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