Dr. Horacio Martínez Este escrito es el resumen de el primer artículo,
DISPERSIÓN ELÁSTICA DE LOS IONES DEBIDO A LOS ÁTOMOS
2.1
INTRODUCCIÓN
En este
capítulo damos una repasada a la teoría del esparcimiento elástico de los
iones-átomos, esta explicación será dada tomando en cuenta que la interacción
entre dos átomos (o iones) A y B puede ser representado por un potencial
central real de energía-independiente W(R), donde R = RA – RB es la posición
del vector A relativa a B. Este modelo puede ser aplicado para describir el
movimiento relativo de A y B aproximadamente, incluso si la colisión es
inelástica (captura, excitación, o ionización), proveyendo que la energía de
impacto es mayor en comparación con los cambios en la energía electrónica
interna de los átomos. Este es el caso usual cuando la energía de impacto es
del orden de 100 eV o mayor.
Marcos del laboratorio y del centro de masa.
Podemos definir el marco del laboratorio
donde el átomo blanco(tarjet) B esta inicialmente en reposo y el proyectil A se
mueve en la dirección paralela al eje Z con velocidad vo. En
el marco del laboratorio el centro de masa de A y B se mueve con velocidad constante
V = MA
vo / MA + MB (1)
Donde
MA y MB son las masas de los iones A y B , respectivamente. La dinámica de la
colisión entre A y B se expresa mejor (o más convenientemente), en el marco del
centro de masa, el marco en el cual el centro de masa está en reposo. En el
marco del centro de masa el movimiento relativo de A y B puede ser descrito por
un sistema equivalente de un cuerpo, en donde una partícula de masa m, donde
m = (MA MB) /( MA + MB) (2)
Es
dispersada por el potencial W(R). La masa m se conoce como la masa reducida de A y B.
Para
una colisión elástica los ángulos de esparcimiento q en el sistema de centro de masa y
qL en el sistema de laboratorio
están relacionados cinemáticamente por la expresión derivada en el (Apéndice B):
tan qL
= sin q / (cos q + t), qL =
MA / MB (3)
2.2 EL POTENCIAL DE INTERACIÓN ENTRE
SISTEMAS ATÓMICOS
La
expresión formal puede ser obtenida por el potencial de interacción efectivo
entre dos átomos, empezando con la ecuación de Schrödinger para el sistema.
Debido
a que los potenciales ópticos son dependientes de energía, no-locales, y
complejos.
De cualquier manera, (provided coupling to
the inelastic channels is weak), parejas proveídas para los canales inelásticos
es débil, la interacción en el canal elástico de esparcimiento puede ser
representado por un potencial real, local, e independiente de energía W(R). Si
los dos átomos están en estados de simetría esférica, el potencial es central,
W(R) = W(R). A bajas energías y el cálculo ab initio de W(R)
puede ser llevado a cabo usando la separación de Born-Oppenheimer en donde la
ecuación electrónica de Schrödinger se resuelve (aproximadamente) para valores
fijos de la distancia internuclear R para obtener los eigenvalores de la
energía electrónica En(R).El movimiento relativo del núcleo atómico
es entonces determinado como un problema de potencial de esparcimiento tomando
a W(R) = Eel(R), donde Eel(R) es la eigenenergía
particular, para el estado en donde el sistema se separa en dos estados-base
(ground state) atomos en el límite R tiende a infinito. La característica de
las energías potenciales En(R) son discutidas mayormente en el
Capítulo 4 y en el apéndice D y metodos elementales de cálculos son dados por
McDowell y Coleman (1970) y por Brandsen y Joachin (1983) Una aproximación alternativa es el desarrollo
de semi-empiricals potenciales dependiendo del número de parámetros que pueden
ser determinados en comparación con los datos experimentales de dispersión.
El comportamiento típico de la interacción
del potencial se muestra en la Figura 2.1, para la interacción entre dos átomos
esféricos simétricos en el estado base. A pequeñas distancias el potencial es
fuertemente repulsivo, debido tanto a la repulsión de Coulomb entre los núcleos
y debido a la interacción de cambio entre las distribuciones electrónicas.
A grandes distancias, la interacción es
atractiva y es debido a los momentos multipolares inducidos en cada átomo (o
ion) por cada uno de los demás.
La barrera del pozo de potencial formada por la repulsión
interna y la atracción externa varía grandemente entre diferentes sistemas
atómicos pero típicamente se encuentra entre 10–3 y 5 eV. La
posición del punto mínimo del pozo también varía, pero no tan grandemente, los
valores típicos fluctúan entre 1 y 10 a.u.
La parte del potencial de rango- largo
(large-range) ó rango amplio se calcula directamente de la teoría de
perturbación a segundo orden (Bransden y
Joachin 1983; McDowell y Coleman
1970). Los términos principales son de la forma:
(1)
both atoms
neutral
Ambos
átomos neutrales:
(4) 
(2) Atomo A neutro y átomo B
ionizado con carga qB :
(5) 
(3) Ambos átomos ionizados con
cargas qA, qB :
(6) 
Aquí Cvw
es el coeficiente de Van der Waals y aA es la polarización dipolar del
átomo A. Ambos coeficientes pueden ser
calculados o estimados fácilmente.
Una
forma semi empírica del potencial para la interacción entre dos átomos
neutrales conteniendo la correcta atracción de largo alcance (long-range) es:
(7) 
Donde b es una constante. La función f(R) se escoge de tal manera que, para
un radio pequeño R, W(R) = e
+ ZA ZB / R, donde e es la energía apropiada del
estado de átomo unido (united atom), y ZA
ZB / R es la repulsión Coulombiana entre los núcleos.
Otra
forma de potencial que ha sido empleada ampliamente es la del potencial de
Lennard- Jones (n,m), definido como:
(8)
Donde m
= 6 para dos átomos neutros ó m= 4 para un sistema de átomo ión. Un valor
típico para n es n = 12. Los parámetros e y R0 son el pozo de
la barrera y la posición del mínimo, respectivamente. Sin embargo el potencial
de Lennard – Jones es altamente singular en R = 0, esto no importa para el
análisis de la dispersión de bja-energía.
Otro
potencial ampliamente utilizado es el de Buckingham potencial para dos átomos
neutros:
R< RA
R> RA,
(9)
Donde A
= exp g, B = 1 – 6/ g, y RA es tal
que max R>RA W(R) =
W(RA).
Sin
embargo estos potenciales son, los que se usan con más frecuencia, muchos otros
han sido propuestos y una lista conveniente ha sido dada por Pauly (1979).
2.3 LA APROXIMACIÓN CLÁSICA
La
teoría cuántica parcial del potencial de esparcimiento es siempre aplicable,
pero sobre un rango de energía variado es posible describir las colisiones
elásticas y esparcimiento elástico de una colisión átomo – átomo por medio de
la mecánica clásica modificada, donde necesariamente, se toman en cuenta
efectos de interferencia cuántica.
Esto se alcanza debido a que, excepto en muy
bajas energías, la longitud de onda l asociada con el movimiento de
los dos átomos es muy pequeña comparada con el tamaño de la región de
interacción. En términos de la velocidad de incidencia, tenemos que (en
unidades atómicas)
l = 2 p / m vo (10)
La
interacción entre los átomos, W(R), varía ligeramente y sólo cambia lentamente
sobre distancias del orden a0
( a0 = 1 a.u.). Se sigue que si
l < 1
un paquete de ondas puede ser formado, el centro del cual seguirá una
trayectoria clásica en el potencial W(R) . Debido a que el átomo más luminoso
es el hidrógeno, y la masa de un protón es MP = 1,836 unidades
atómicas, la masa reducida más pequeña
es m = 918.
Tenemos que l < 1 para velocidades mayores
que 2p / 918 a.u., que corresponde a
vo = 4.4 X 10 6 m s –1, ó una energía de 1.2 eV. Entonces se
esperan condiciones clásicas para
aplicar para un sistema de masa reducida m, cuando la energía E > 1.2(MP/ 2m) eV.
Para
condiciones más lejanas, las cuales deben satisfacerse si la mecánica clásica
se mantiene, es tal que la incertidumbre en el ángulo dentro del cual el átomo
esparcido se deflecta, puede ser pequeña comparado con el ángulo de
esparcimiento. Consideremos una
trayectoria clásica particular definida por la velocidad inicial vo
y un parámetro de impacto b, donde b es la distancia perpendicular entre el eje
Z y la trayectoria de línea recta. La
situación se ilustra n la figura 2.2, donde el origen de coordenadas O se toma
como el centro de fuerza. Debido a que el potencial W(R) es central, el momento
angular L, donde L = bm vo, se conserva y el movimiento es
confinado a un plano, tomamos el plano XZ.
Bajo
las condiciones clásicas, la función de onda de la partícula dispersada se
representa por un estrecho paquete de ondas de ancho Dx y la dirección X. La
correspondiente incertidumbre en la componente x de el momento px
es, debido al principio de incertidumbre
de Heisemberg (en unidades atómicas)
Dx Dpx >1
(11)
La
incertidumbre Db en el
parámetro de impacto b debe ser del mismo orden que Dx, entonces:
Db = 1 / Dpx (12)
La
incertidumbre Dpx en el momento transverso
corresponde a una incertidumbre DF en la coordenada angular F de una partícula, tal que
DF
= Dpx /p = 1/(pDb) (13)
donde p
= m
vo. El ángulo de esparcimiento q debe debe también ser incierto por DF, y para q estará bien definida la condición
q >> DF (14)
deberá
satisfacerse. Debido a que se debemos
estar seguro que b >> Db, tenemos de (13) y (14)
q >> 1/ (pDb) >> 1/ pb (15)
Se
sigue que las condiciones clásicas se
aplicarán proveyendo q que es mayor que un ángulo crítico qc donde
qc
= 1/L, (16)
donde L
es el momento angular clásico, L = bm vo = bp.
De
igual manera a velocidades termales (vo = 105
cm/s), los valores imprtantes de L pueden ser mayores que 103 a.u.,
correspondientes a un ángulo crítico del orden de unos cuantos miliradianes. La
fracción de partículas disperasadas dentro de los ángulos mayores a qc pueden ser muy pequeñas, debido
a que a lo más todos los esparcimientos elásticos son confinadas en un cono
estrecho sobre la dirección recta o continua (foward), para todas las energías
mayores que la termal.
De
cualquier manera, en los experimentos actuales, las mediciones son usualmente
confinadas a la región qc >q, para las cuales una descripción clásica se
funda correctamente (o tiene buenas bases).
Casos excepcionales se obtienen cuando mas que una trayectoria clásica
corresponde a un angulo de esparcimiento.
Cuando
esto sucede, una teoría semi-clásica puede ser desarrollada para permitir los
efectos de interferencias cuánticas que suceden.
LA
TRAYECTORIA CLÁSICA Y LA FUNCIÓN DE DEFLECCIÓN.
Para
determinar la trayectoria clásica en el potencial central W(R), las
coordenadas polares (R,f) pueden introducirse de la siguiente manera:
R2 = X2 +
Z2 (17)
Cos f = Z / R,
Como se
muestra en la figura 2. La componente de la velocidad del átomo perpendicular a
R es R entonces el momento angular con
respecto a la fuerza central es:
L = mR2f , (18)
Y este
es constante a lo largo de una trayectoria dada. Entonces
La
energía total del sistema E es la suma de la energía cinética y potencial y
también es constante, siendo igual a m vo2 /2 :
E = m vo2 /2
= m
/ 2 vo
= 
Esta
relación provee una expresión para R, la velocidad radial,
Para la
cual una ecuación para la trayectoria puede encontrarse:
es
decir:
En el
punto Ro de mayor aproximación
entonces, para 21, Ro es la raíz positiva de la
ecuación
Donde
La
trayectoria es claramente simétrica en relación al punto de mayor aproximación,
entonces de 2a es el
cambio total en el ángulo F durante de colisión, a puede ser obtenido interesándose en (22) a lo largo de la trayectoria
desde R = Ro a R = infinito.
Entonces
:
La
función clásica de deflexión Q se define como
Q = p - 2a
y para un
solo valor de la función de b y E para un potencial dado:
Q = Q(b,E)
La
relación inversa en la otra manera puede no ser un solo valor y varios valores
de b que pueden corresponder a un valor dado de
Q. El
ángulo de deflexión puede ser de cualquier magnitud y del mismo signo.
2.3.2 THE CROSS SECTION (LA SECCIÓN DE
CRUCE)
Si
consideramos el esparcimiento de un rayo uniforme de átomos por el centro de
fuerza, la intensidad del rayo de esparcimiento (ó rayo esparcido) será
simétricamente axial con respecto al eje Z (por un potencial central) y
dependerá solo del ángulo de esparcimiento q, que se define también para
0< q < p. Par obtener de la función de deflección, primero formamos
la cantidad
b = |Q| - 2pn,
Donde o
n = 0, o n es un entero escogido tal que 0 < b < 2p . Entonces
b si b < p
q
=
2p - b
si p <
b < 2p.
En
vista de (27), átomos de energía E teniendo parámetros de impacto entre b y b+
db son esparcidos entre los átomos q y q + dq. La sección de cruce diferencial I(q) se define como el número de
átomos esparcidos en la dirección q entre un elemento de ángulo sólido d W = 2p sen q dq, por unidad de tiempo, por unidad de flujo
incidente. Si el flujo incidente es F, el número de
partículas esparcidas por unidad de tiempo tienen parámetros de impacto entre b
y b + db es F(2pb db), y
si solamente un valor de b corresponde al ángulo de esparcimiento q, se sigue que:
Para
varios valores de b, tales como b1,b2,b3,..., correspondientes al ángulo de
esparcimiento q, la
sección de cruce diferencial es la suma de las contribuciones para cada una de
las trayectorias
En
general un potencial repulsivo monótono produce una función de deflexión
positiva Q decreciendo desde Q = p en b =0 y b = 0 a Q =0 en el límite b tendiendo a infinito, cuando un potencial
atractivo monótono permitiendo una función de deflexión negativa para el que Q = 0 en b =0 a
Q tendiendo a 0 en el límite b tendiendo a infinito que se muestra en la
figura 2.3. Como hemos visto, los
potenciales característicos que se alcanzan en un esparcimiento ión-átomo no
son monótonos, pero posición un a región repulsiva intrínseca y una región
externa de atracción. Este tipo
de potencial produce una función de deflexión que cambia de signo como se
ilustra esquemáticamente en la Fig. 2.4. Parece que, en este caso particular,
para q > qm solo un solo valor de b ,
cuando para qm >q tres valores contribuyen. Cuando más de un solo valor de b contribuye a
un q
dado contribuye a q un dado, como veremos adelante,
una fase de un origen mecánico cuántico debe ser asociado con cada parte de la
fórmula (2.31) en donde las intensidades se han añadido deben ser remplazadas
por uno en el cual las probabilidades de amplitud sean sumadas.
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